直角三角形内切圆的推广

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我们知道利用面积法可以解决直角三角形内切圆半径的问题，在此基础上发现若有两个等圆内切于直角三角形中，也可按面积法求解，具体过程如下。


已知：在Rt⊿ABC中，⊙O1  ,⊙O2 两等圆外切于H, ⊙O1  切AC、AB于D、E两点，⊙O2 切BC、AB于F、G两点，若AC=4,BC=3，求⊙O1 与⊙O2的半径。

解：连接O1  A, O1  D, O1  E, O1  C, O1  O2, O2 C, O2 F, O2 B, O2 G, O1  G,过C作CI⊥AB交AB于I,交O1  O2于J


设⊙O1 与⊙O2的半径为r



∵⊙O1  ,⊙O2 两等圆外切于H, ⊙O1  切AC、AB于D、E两点，


⊙O2 切BC、AB于F、G两点


∴O1  D⊥AC , O1  E⊥AB, O2 G⊥AB, O2 F⊥BC


S⊿AO 1C=AC·O1D=2r    S⊿BO 2C=BC·O2F=1.5r


S⊿AO 1G+ S⊿O 2GB =AG·O1E+GB·O2G=r(AG+ GB)=2.5r


又∵CI⊥AB交AB于I,交O1  O2于J



∴CJ+ O2G = CJ+JI=CI   CI==2.4


S⊿CO 1 O 2+ S⊿O 1 O 2G = O1  O2·CJ+ O1  O2·O2G= O1  O2·CI=2.4r


即S⊿ABC= S⊿AO 1C+ S⊿BO 2C+ S⊿AO 1G+ S⊿O 2GB+ S⊿CO 1 O 2+ S⊿O 1 O 2G==6


8.4r=6 ,   r=


现推广到一般情况在Rt⊿ABC中∠C=90°，⊙O1  ,⊙O2…⊙On (n为正整数)两两等圆外切, ⊙O1  切AC、AB,⊙On 切BC、AB, 若AC=b,BC=a,求⊙O1  ，⊙O2 ,…⊙On的半径。

解：用类比思想我们可以知道,设⊙O1  ，⊙O2 ,…⊙On的半径为r


             S⊿ABC = S1+ S2+ (S3+ S4)+ (S5+ S6)


= br+ar+r+×2(n-1)r


又∵S⊿ABC =ab


∴r=