遵循儿童认知特点，改进数学教学

行云流水

在多年的小学数学教学实践中，使我深刻认识到儿童学习数学有其明显的特点和规律。对我来说，这个认识是通过不断学习和教学实践逐步提高和加深的。小学数学教学改革，必须遵循儿童的认知特点和规律，只有这样，才能使教学取得最大成功。 　　(一)加强直观教学和实际操作，使学生掌握知识的形成过程
　　儿童思维有其特点。一般来说，是从具体形象思维逐步过渡到抽象逻辑思维，即使过渡到抽象逻辑思维阶段，在很大程度上，仍然要与他们的感性经验相联系，借助于形象思维过渡到抽象思维。
　　根据这样的认识，在小学数学教学中，加强直观教学和实际操作，使学生掌握知识的形成过程，是引导学生从具体形象思维过渡到抽象思维，就显得十分重要。
　　数学中的概念同其他科学中的概念一样，是事物的本质属性在人的大脑中的反映。在概念教学中，我尽量采用多种形式，让学生通过观察、分析、比较、综合抽象、概括、记忆、应用等一系列活动，形成和掌握概念，而不是生吞活剥地灌输给学生。教材中有些概念，往往以定义、公式等的形式直接呈现在学生面前，学生看到的是思维的结果，而看不到思维活动的过程。在这种情况下，需要教师站在思维分析的高度来研究和处理教材，必须把概念的形成过程，让学生在参与中理解，并从中受到恰当的思维训练。
　　如关于“圆锥的体积”，课本上的文字叙述不多，是用实验的方法得出

　　这样的内容我讲过近40次，其中有两次留给我的印象最深。
　　1979年，我接受一次市公开课教学的任务，讲的是圆锥的体积。在课堂上做实验，是“老师做实验，学生坐着看”。当时学生把计算公式背得滚瓜烂熟，大多数还能运用公式进行计算，我觉得很满意。公开课完了，学校校长对这一节课马上跟踪做了调查。从卷面上发现这样一个问题：一个女学生

　　我问她为什么写两个算式？她说，“平时我把公式背得很熟，一紧张，我就叫不准是除以2还是除以3，就想了这种办法。”她又补充说：“当时老师做实验，我也没看清楚是倒2次还是3次。”这个问题等于给我留了新的研究课题：怎样组织学生动手做实验，引导学生自己动脑动手分析问题、研究问题。
　　1983年，我又一次接受了哈尔滨市公开课教学的任务，还是讲圆锥的体积。由于教学设计比较切合学生实际，加强了直观教学，让学生自己动手，动脑做实验，真正参与知识形成的过程，收到了较好的教学效果。我设计两组教具：一组是按教材的要求做一个圆柱和一个与圆柱等底等高的圆锥；另一组是一个圆柱和这个圆柱等底，高为圆柱高的3倍的圆锥。因为课前都做了充分的准备，让每个学生都能用上教师准备好的教具做实验。
　　两次实验，给学生留下深刻的印象。一上课学生都争着汇报做实验的结果和不同的体会。就在热烈的争论中，学生清楚地回答了两个问题：(1)圆锥

　　)而且在争论的过程中，他们手拿教具，能有理有据地回答问题。例如：
　　学生甲：“实验结果证明：和圆柱等底不等高的圆锥(圆锥的高是等底圆柱高的3倍)。它们的体积相等。”
　　学生乙：“圆锥的高是圆柱高的3倍，而且它们的底面积相等。所以，这个圆锥体积和圆柱体积相等。”
　　学生丙：“因为圆锥的体积V等于和它等底等高的圆柱体积的三分之一，就是把圆柱体积缩小3倍就是圆锥的体积，再把圆锥的体积扩大3倍，就是等底不等高(圆锥的高是圆柱高的3倍)的圆柱体积。”
　　这是3名学生对问题的回答，再看全班学生对问题的理解。公开课上完，学校校长当场对学生做一次跟踪调查。出了如下4道小题：
　　(1)圆柱底面积是4.5平方厘米，高2.7厘米，求圆柱与它等底等高的圆锥体积各是多少？
　　(2)一个长方体和一个圆锥的底面积相等，高也相等，长方体体积是圆锥体积的( )。
　　(3)圆锥的底面积是19平方厘米，高是12厘米，求与这个圆锥体积等底等高的圆柱体积是多少？
　　(4)一个圆锥形的砂堆，高是1.5米，底面周长是12.56米，求这堆砂子约有多少立方米？
　　同是一样的内容，同是用实验的方法，同是一个老师讲，教学效果为什么有明显的不同呢。下面是两次公开课，学校对教学效果跟踪调查的记录。

　　1979年公开课上做的实验仅仅是想把知识教会，办法是老师讲学生听，忽视了让学生参与以及学习能力的培养；1983年这节公开课，从备课开始就为学生参加知识的形成过程，为学生自己观察、自己动脑动手做了充分准备，所以课堂上学生学得积极主动，生动活泼，对问题理解得深透，对知识掌握得牢固。因而概念教学，必须加强直观教学，鼓励学生参与实际操作，不仅让学生掌握知识，更重要的使学生知道知识的形成过程。学生亲自操作的过程，是使学生自己去发现规律的重要过程，不仅加深了学生对知识的理解，而且能使教的过程和学的过程统一起来，能充分地调动学生学习的积极性。
　　(二)培养学生用联系的观点完善认知结构
　　“认知结构的发展是一个连续构造的过程，每一个阶段都是前面阶段的延伸，是在新水平上对前面阶段进行改组而形成的一个新系统。”(《中国大百科全书·心理学》第294页，中国大百科全书出版社，1991年第一版)如果学生获得的知识是杂乱无章的，像开中药铺似的罗列了一大堆单个的材料，便不能形成良好的认知结构，也就不能使学生在获得知识的同时，能力和智力得到发展。因而多年来我在教学中一直着力于培养学生建立和完善认知结构。
　　结构是指事物的内部联系。建立数学知识结构是数学学习的本质，也是数学教学的本质。数学知识的系统性很强，前面的知识是后面知识的基础，后面知识是前面知识的发展，它们是一个互相联系的整体。学生只有不断完善认知结构，才能形成知识网络，利于知识迁移。
　　迁移是指已经获得的知识、技能，乃至方法和态度对学生学习新知识、新技能的影响，用中国的一句古语来说，就是“以其所知，喻其不知，使其知之”。小学数学教学的根本目的不仅是要使学生理解知识，掌握技能，更重要的是培养学生学习知识迁移的能力，能把所学的知识技能应用于不同的情境，更好地学习新知识，解决新问题，做到“既长知识，又长智慧”。为此，我采取了下面一些做法。
　　1．留“甩头”和找“接头”为知识迁移铺路。
　　留“甩头”和找“接头“是指前一堂课所留的“甩头”，是后一堂课要找的“接头”。这是一个问题的两个方面。实际上都是指教学中要把握知识的连结点，促使学生不断发展认知结构，加强知识间的内在联系。
　　为了减缓后继课学习的坡度，我在教学中既注意教材的阶段性，又注意教材的连续性，对后继教材的重点、难点，注意提前孕伏。在讲授新课时，不仅要找好接头，还要为后继课程的学习留“甩头”，与后继教材相连结。例如，我在讲长方体的体积时，强调了“底面积”，就为以后讲授正方体、圆柱体乃至圆锥体甩了个“头”。后来，在讲圆柱体时，我先引导学生复习圆面积，再组织学生复习长方体和正方体的体积公式，并着重讨论了什么是它的底面积，收到了很好的教学效果。
　　学生甲说：“底面积×高是长方体、正方体的同一个公式。会求圆而积，就可以用底面积×高求出圆柱体体积。”
　　学生乙说：“环形面积×高，可以求出钢管的体积。”
　　学生丙说：“我有一个三棱柱的容器，三角形面积×高=三棱柱的容积。”
　　2．加强知识的纵横联系，形成知识网络。
　　上面讲的找“接头”和留“甩头”，都是为了引导学生掌握新旧知识之间的联系，使学生在已有知识的基础上，更好地理解和接受新知识。但数学知识之间的联系往往是错综复杂的，为了使学生把学到的知识形成清晰的网络，即构建良好的认知结构，我在教学中还进一步引导学生加强知识之间的纵横联系，把有关的知识穿成串，学生把这种方法简称为“穿串”。这样把找“接头”、留“甩头”和“穿串”结合起来，在教学中取得了显著效果，大大提高了学生学习数学的积极性和自觉性，学习效果也明显提高。
　　在总复习时，我组织学生进行系统整理，形成了很多知识网络。如下页的图，是学生在老师引导下自己归纳、整理，老师又进一步帮助研究、修改后形成的各种应用题的纵横联系图。
　　3．易混淆的内容，着意弄清它们的异同和联系。
　　数学知识中，有些内容容易混淆，对这样的内容，我用类比方法一方面区分它的异同，另一方面，弄清它们之间的内在联系。在批改学生的作业时，我常常发现学生易混淆的问题。例如，有的学生学过小数的性质后，把“2.5996，要求保留三位小数得2.600末尾的两个“0”都消去了。写成2.5996≈2.6。我问他为什么把末尾的两个“0”全消去了，他说：“因为您在讲小数的基本性质时就是这么讲的。”又如：“甲数是40.5，比乙数多1.25，乙数是多少？算式是：40.5-1.25=38.25，而有的学生竟列出这样的算式：40.5+1.25=41.75，她还满有理由地说：“因为甲比乙多1.25，所以40.5+1.25=41.75就是乙数。”学生出现的种种错例，其主要原因有二：一是对所学的知识，没有完全弄懂；二是学生懒于动脑，对具体问题不做具体分析。不懂得解决问题的方法是事物的本质决定的，而用静止的孤立的绝对的观点去生搬硬套，认为多多少就是加，少多少就是减。
　　在教学中，怎样研究解决这样的问题？我抓了下边两项工作。一是“水不来先叠坝”。例如，讲《圆柱的表面积》时，针对学生易混

　

　　淆的问题，先讲什么叫表面积，我拿了下面三种实物让学生观察、比较。比较的结果是：
　　铁皮油桶：侧面积+底面积×2
　　铁皮水桶：侧面积+底面积
　　铁皮烟囱：侧面积
　　这样不论是平时的作业，还是考试，再也没有发现油桶、水桶、烟囱的表面积相混淆的问题。二是“以趣诱思”，引导学生深入地思考问题。“兴趣在人的实践活动中具有重要的意义。兴趣可以使人集中注意，产生愉快紧张的心理状态。”(《中国大百科全书·心理学》第469页，中国大百科全书出版社1991年第1版)心理学家研究表明：当学生情绪高昂时，他们就有良好的情绪去学习。他们还乐于学习有趣的内容，学习效果就更好些。
　　在分数乘除法教学中，我发现学生对单位“1”和“余下”“再余下”，认识不清，虽经多次纠正，仍是错误百出。为了让学生在高高兴兴、玩玩乐乐中得到鲜明的印象，我编了一道既有情节，又能解决学生易混淆的应用题：狐狸、老牛和小山羊上山采了100个野果子。狐狸对老牛和小山羊说：“老牛年岁大了，应多分些，小山羊又瘦又小也应该多分些。”老牛和小山羊说：“还是平均分吧！”于是狐狸算来算去，好不容易算完了，便说：“我只要这些野果子的30%，余下的40%给老牛，再余下的50%给小山羊，把剩余那一点再给我，这样分行吗？”老牛和小山羊一听高兴地说：“还是狐狸有风格，30%、40%、50%，我俩得的太多了，还有点剩余的就给狐狸吧！”学生看题后，高高兴兴地算起来，很快算出狐狸得51个果子，老牛得28个，小山羊得21个。这时课堂变成了批判狐狸的会场，学生争先恐后揭露狐狸的阴谋。
　　学生甲：“狐狸真狡猾，它利用老牛、小山羊不懂分数的大小的弱点骗它们。”
　　学生乙：“这个故事说明了学好数学很重要，老牛、小山羊不懂得整体‘1’和‘余下’、‘再余下’的三个不同单位的数量，光看30＜40＜50，误认为老牛小山羊得的最多，实质狐狸拿走了野果子的一半还多一个，而老牛和小山羊总共才分得49个。”
　　学生丙：“老牛、小山羊不好好学数学，懒于动脑想，这是受骗的主要原因。”
　　学生丁：“老牛和小山羊听了坏狐狸的甜言蜜语，就误认为狐狸风格高。
　　这告诉我们看问题不应光看表面，要看实质。”学生对狐狸的批判，提醒了同学们学习数学，首先要把概念弄清楚，其次要认真学好数学。从这个小故事中，促使学生从一上课就全神贯注地积极思维，使他们从知之不多，到知之较多；从知之不完全不确切到知之较完全较确切，从而激发了全体同学学好数学的积极性。
　　我们知道学习是学生的天职，然而要使学生的学习顺利有效地进行，应为学生创设良好的学习情境，调动他们积极学习的志趣。同时对于差些的学生应该给他们更多的关心和帮助，增强他们学习的信心，鼓励他们通过自己动脑想，动手做，主动去获取知识。课堂上要善于捕捉他们思维的闪光点，寻找到合适的机会，使他们的才能得到表现和发挥。只有从各方面促使他们对学习产生兴趣，学生的学习才能积极主动。
　　4．指导学生看书，鼓励学生质疑问难，培养学习能力。
　　现代教育对学生的要求是：不仅要使学生学会，更重要的要使学生会学。这是因为学校教育不可能把包罗万象的知识都传授给学生，必须教学生会读书会学习，掌握学习方法，这样，学生才能终身受益。
　　教科书是教师教学的依据，是学生学习的材料。教是为了不教。学生掌握阅读教材的学习方法，正是为了他们离开教师的辅导，能够自己看书学习。我常常结合概念、法则、应用题等不同类型课，在讲解基础知识的同时，传授了自己看教材的“三步读书法”。
　　第一步：认真看书，整体感知。对教材内容，特别是对关键性部分要一句一句地琢磨，读明白一句，再往下看一句。读不明白的就反复读，教师随时帮助解疑答难。让学生从全局上掌握这一节课要讲的主要内容是什么，故名“整体感知”。
　　第二步：琢磨思路，归纳出每层的意思。引导学生按老师教给的方法一节一节地去归纳、整理，读明白一节写出一层意思，这样读可以使学生既抓住了重点，又能弄明白书上是怎样阐述法则的，怎样概括定义的。
　　第三步：认真看练习题。检查自己看教材的效果，看看自己能独立回答习题中哪些问题。想想自己看书学习过程中还有哪些疑问，准备上课时向老师和同学质疑问难。
　　小学数学教学的主要任务是：既要传授知识、技能，又要发展学生的能力，让学生越学越聪明。为此，既要研究老师如何教好。还要研究学生如何学好，即不仅使学生学会，还要使学生会学、乐学。下边介绍几种学生乐学的学习方法。
　　(1)动手操作。
　　动手操作，学生最感兴趣。在操作中既发展了学生的思维，又能帮助学生建立起清晰的概念，发现计算规律，弄清数量关系。过去我有一个深刻教训：一次批改期中数学考试卷，有一道题是求圆锥的体积。不止一个学生记错了公式。我放下卷子，把他们找来一同分析答错的原因。有的说：“平时我把公式背得很熟，一考试全忘了。”有的说：“老师上课摆弄教具给我们看，我们就像看热闹似的，愿意看。可是我不明白底面积是什么意思，求圆锥的体积和求三角形面积公式老是混淆。”这使我恍然大悟，知道症结所在。我放下卷子，领他们去教室，我先给他们出了一道题：“一个长方体，长4厘米，宽3厘米，高5厘米，求体积。”我要求他们自己指明已知各个数量，然后说明“底面积×高”的道理。有的摆弄很长时间，突然乐得跳起来，并高喊：“老师，我真明白了。3×4=12(平方厘米)，12平方厘米就是长方体的底面积，12平方厘米这块地方放下12个立方厘米，这是第一层。高5厘米，就是5层，一层是12立方厘米，5层就是60立方厘米。所以，长方体的体积=底面积×高。这个长方体如果把宽×高看作是底面积，长就是它的高，把长×高看作是底面积，宽就是它的高。”后来，
　

　　分之一。用这个圆锥装满沙子，往等底等高的圆柱体里倒三次才能装满圆柱

　　不少事例说明，学生亲自操作的过程，是学生自己去发现规律的过程。这样做，不仅加深了学生对知识的理解，而且使教的过程和学的过程统一起来，能充分地调动学生学习的积极性，又能使他们知道所获得知识的来龙去脉，即不仅知其然，而且知其所以然。
　　(2)知识迁移的方法。
　　知识迁移实质上是基本概念和基本规律的迁移，也就是原有知识结构对新的学习内容的影响。知识迁移普遍存在于学习过程中。许多新知识是在教学过程中联系已有知识类推出来的。例如，教学“求一个数是另一个数的百分之几”，我在板书课题之后，让大家看书学习，想一想，这部分知识和学过的哪些知识有联系？怎么联系的？举例说明。不一会儿，学生纷纷要求解答。
　　一名学生先举例：“姐姐身高是160厘米，妹妹身高是100厘米，妹妹身高是姐姐身高的几分之几？”然后她说：“求一个数是另一个数的百分之几的意义和我们已学过的求一个数是另一个数的几分之几的意义相同，解法也相同。不同的地方，就是两个数量之间的关系，有的是几分之几，有的是百分之几。”
　　数学知识具有很强的系统性，每一部分新知识一般并不全新，是在已有知识的基础上形成和发展起来的。学生最喜欢用知识迁移的方法在自学过程中研究新问题。
　　(3)独立观察、实验。
　　怎样引导学生独立观察、实验，最重要的是老师要为学生的独立观察、实验创设情境。例如，有一次在讲过工程问题之后，我提出了水管问题。大部分学生都能根据工程问题的思路，很快算出结果来，而有几个同学总认为，上边开，下边放，多长时间也不会注满水池。于是我就把他们领到了学校洗手池旁边，让他们自己开，自己放，摆弄了很长时间，他们终于明白了。只要几个水管单位时间的流水量相等，如果上边开一个管往池里注水，下边开一个水管往外放水，一点水也存不住。如果上边开两个管往里放水，下边开一个管往外放水，上边一个管注入的水够下边一个管往外流的，剩下的一个管注入的水全在池中存下来了。一个男同学补充说：“这道题实质是，上边开一个管，几分钟可以把水池注满的问题。”另一个同学又补充说：“我爸爸每月挣350元，我妈妈每月挣250元，我家每月支出400元，余下的存起来，几个月后能存1000元，这不是和水管问题一样吗？”
　　(4)借助直观，加强数量关系分析。
　　在教学中充分利用图表，把抽象问题具体化，进行数量关系分析，往往会收到良好的教学效果。图和表比较直观、形象，能把抽象的数量关系具体化，能把复杂的问题变得清晰可见，便于学生找到解答问题的正确思路。这里举两个例子。
　　题目一：王勇有15张邮票，李川又送给他3张，这时王勇和李川的邮票同样多。李川原有邮票多少张？计算结果出来了两个答案。小张说李川原有18张，因为李川比王勇多3张。小李说李川原有21张。当小张看到线段图时，主动地说：“我想错了，是21张。原来李川比王勇多6张，给王勇3张后两人的邮票数才能同样多。”

　　题目二：五年级四个班举行数学竞赛，小川猜想比赛结果是：3班第一名，2班第二名，1班第三名，4班第四名。小华猜想的名次排列顺序是：2班、4班、3班、1班。结果只有小华猜对4班第二名，这次竞赛的名次是怎样排列的？
　　学生见到题后认为，条件很乱不易分析，看了前边忘了后边。我引导学生画出下面一个表格，并且抓住排除的内容，进行了正确的推理判断。

　　已知4班是第二名，其余的判断都是错误的。学生边看表格边做如下判断：
　　①从表上看出3、4班和2班都不是第一名，那么，1班肯定是第一名。
　　②从表上能看出，1班、3班和4班都不是第三名，那么2班肯定是第三名。
　　③第一、二、三名都确定了，第四名一定是3班。从表上也能断定，1班、2班、4班都不是第四名，那么，3班肯定是第四名。
　　名次排列的顺序是：1班、4班、2班、3班。
　　(5)抓住一个已知条件追问到底
　　小学生分析问题时，往往不知从何入手。针对这个问题，我教了“抓住问题，追问到底”的思考方法。
　　一种方法是抓住问题，从后往前追。就是从问题入手，去寻找回答问题的两个条件，如果两个条件中，有一个未知条件，那么就抓住这个未知条件继续追问，直到找到问题的最后一个答案为止。另一种方法是从前往后追，抓住两个已知条件，琢磨这两个已知条件有什么关系，能求出什么数，再抓住求出的数，看看和题中的哪一个已知条件有关系，能求出什么数，直到找到问题的最后一个答案为止。以上两种方法，前者为分析法，即平常说的执果求因，后者为综合法，即平常说的执因求果。在学生自己思考追问的过程中，如果碰到了“追不明白”的问题，要求学生不轻易去问别人，要反复琢磨，要想办法，尽量自己做出回答。还有一种方法是抓住难点去追问。就是把难点当做问题，抓住和难点有关的直接的或间接的条件去追问，寻找解题的思路。经过反复追问是能够把问题弄明白的。例如，一次数学竞赛，我班参加比赛的有12人。退出考场后，一路上争论一个问题：“某商店出售每支5角的铅笔，很少有人买。降价之后，全部卖出，共卖得31.93元。问这种铅笔共有多少支？每支降价多少元？”12人中有5人说这道题缺条件，其余7人都是采用“抓住难点追问到底”的方法找到了解题的思路。其中有一名学生就抓住了“31.93”这一难点，自己提出问题，最后追出了解题思路。下边是这个同学的思路图：单价×支数=总价，总价是：31.93，但是单价和支数都不是已知条件。怎么办？“31.93”肯定是两个数相乘的积，如果单价和数量是两个互质数，用分解质因数的方法试试看。开始试做：

　　31.93元=3193分

　　第一步，降价后每支多少钱？
　　31分=0.31元
　　第二步，共多少支铅笔？103支。
　　第三步，每支降价多少元？
　　0.5-0.31=0.19(元)
　　第四步，共卖得多少元？
　　0.31×103=31.93(元)
　　这个同学经过上边的追问思考，终于找到了解决这个问题的思路。所以，这个难点能吸引着学生深入地想，千方百计地琢磨，“想进去”才能“想出来”。
　　以上几种学习方法，在学习过程中，常常是综合应用的。在教学中，因为重视了学法的研究，影响了学生，他们也能积极主动总结自己的学习方法，如追问到底的方法，类比的方法，抓住突破口的方法等。这样做之后，学生对数学学习产生了浓厚的学习兴趣，主动要求老师帮助他们选学参加华罗庚金杯赛的竞赛题。1983年我教的一个班级有15名学生参加第二届华罗庚少年数学竞赛。有1名学生获全国一等奖，有3名获二等奖，有6名获三等奖。在深圳决赛时名列全国第八，获银牌奖。
　　多年来，从培训参赛学生的工作中，我深深体会到：影响学生学习的因素很多，但是“勤奋”、“得法”是最直接地决定学习好不好的重要因素。所以学习指导是教学的一个重要方面，教师在教学中既要教知识，又要教学习的方法，这是教师的重要任务。