教学实录 能被3整除的数

行云流水

师：上课。
能被2整除的数，和能被5整除的数，我们已经学过了。谁能告诉我，能被2整除的数和能被5整除的数，各有什么特征呢？
生：能被2整除的数的特征是：个位上的数是0、2、4、6或8；能被5整除的数的特征是：个位上的数是0或5。
师：能同时被2和5整除的数的特征又是什么呢？一起告诉我吧。
生[齐]：个位上的数是0。
师：这节课咱们接着往下学习，学习能被3整除的数。
　　[板书课题：能被3整除的数]
　　谁能随便说个数，这个数要能被3整除。
生：123。
生：18。
生：21。
生：24。
生：9。
生：27。
师：[随着学生的回答，把上面各数都板书出来]
　　有同学说123。如果你们说123能被3整除，我立刻就可以说132，231，213，312，321，这些数统统都能被3整除。
　　[上面这些数，边说边板书]
　　请大家口算一下，看看它们是不是能被3整除。
生：能。
师：看来能被3整除的数还真有点意思。为什么会这样？能被3整除的数到底有什么特征？咱们现在就开始研究。 　　[板书：12]
　　12，这是一个十几的数。它能被3整除，咱们就从12研究起。
　　请看，我这里有12支铅笔[举起一捆零2支]。咱们这样想：每3支铅笔打成一捆，这10支，可以打成几捆，还剩几支？
生：可以打成3捆，还剩1支.
师：[边操作边说明]这10支铅笔，可以打成3捆，还剩1支。3个3，也就是1个9。这个9肯定能被3整除，不需要研究了。那么12能不能被3整除，我们只需要考虑剩下的这1支和这2支，把它们合起来是不是3支正好一捆，也能打成整捆。大家看是不是可以打成这样的整捆呀？
生[齐]：是
师：这就说明12能被3整除。[指着板书中的12]我们可以把10想成是1个9加1，而9肯定能被3整除，没打捆的只剩下几支呢？
生[齐]：1支。
师：[在12中“1”的下方板书出向下的箭头，在箭头的下方再板书出1]
　　这1支怎么办？
生[齐]：和那2支合起来。
师：对。和这2支没打捆的合在一起。
　　[在12中“2”的下方板书出向下的箭头，在箭头的下方板书出2，再在1与2的下面板书出3]
　　把它们合在一起，按3支一捆，看看能否打成整捆？
生[齐]：能。
师：一支不剩，说明12能被3整除。
　　[板书：24]咱们再研究一个二十几的数：24。
　　老师这儿准备了24支铅笔[举起2捆零4支]。像刚才那样，10支可以把它想成是1个9加1，那么20可以想成什么？
生：20可以想成2个9加2。
师：对！20可以想成2个9加2。[边演示边说明]这2个9，肯定能被3整除吧？
生[齐]：对。
师：24能不能被3整除，我们只需要考虑谁呢？
生：就要看剩下的2支，和另外的4支，合起来是不是按3支一捆能打成整捆。
师：这2支和这4支合起来，是不是正好可以打成整捆呢？
生[齐]：可以。
师：这说明了什么？
生：说明24能被3整除。
师：好极了。像刚才这样，你说一说27能不能被3整除？
　　[板书：27]
　　相邻的两个同学，可以互相说一说。
生：[同学之间展开了热烈的讨论]
师：好。哪个同学来说一说？
生：20可以说成是2个9加2，再用2加上7，等于9。9能被3整除，所以27能被3整除。
师：[随着学生的发言，教师完成下列的板书]

　　谁是这样想的？
生：[一起举起手］
师：想得好极啦，请把手放下。
　　10，咱们可以想成1个9加1；20咱们可以想成是2个9加2。照这样，30可以想成什么？
生[齐]：3个9加3。
师：40呢？
生[齐]：4个9加4。
师：70呢？
生[齐]：7个9加7。
师：90呢？
生[齐]：9个9加9。
师：好。咱们再来看一个大点的数，126。
　　[投影出126根小棒的画面，一大捆，两小捆，6个单根]
　　看这里，126根小棒。先看这100根，你可以怎么想呢？
生：把100想成11个9加1。
师：可以不可以？
生[齐]：可以。
师：11个9，也就是99。这样我们就可以把100想成1个99加1行不行？
生[齐]：行。
师：[演示抽拉片，从表示100根的这一大捆中，抽拉下1根]
　　100想成99加1，那200呢？
生[齐]：想成2个99加2。
师：300呢？
生[齐]：想成3个99加3。
师：很好。99的几倍肯定能被3整除，这是不需要再考虑的了。这20怎么想？
生：想成2个9加2。
师：[演示抽拉片，从表示20的两小相中，各抽拉下1根]
　　这两个9也能被3整除，也不需要再考虑了。那126能不能被3整除，只需要考虑什么呢？
生：只看没打捆的。
师：没打捆的这有1根，这有2根，这还有6根[同时把6根也抽拉下来]合起来一共是多少根？ 生[齐]：9根。
师：[用复合片在1、2、6的下面投影出9]这些没打成捆的小棒，合在一起，如果还能3根一捆打成整捆，就说明什么？
生[齐]：说明126能被3整除。
师：现在我们已经算出来了，是9根，这说明什么？
生[齐]：126能被3整除。
师：就照这样，你们来分析一下，438能不能被3整除呢？同座位的先互相说说。
生：[展开讨论]
师：谁来说一说？
生：400可以想成4个99加4，4个99不用考虑了。30可以想成3个9加3，3个9不用考虑了。然后就用4加上3等于7，7再加上8等于15。15能被3整除，所以438能被3整除。
师：很好。438真的能被3整除吗？大家除除看。百位商1，十位商4，个位商6。证明刚才我们的分析是对的。
　　大家再来分析一下523这个数，能被3整除吗？
生：不能。
师：这么快就回答了，你是怎么想的？
生：500我想成5个99加5，20我想成2个9加2。5个99和2个9都不考虑了，只考虑5加上2，再加上3，等于10。10不能被3整除，所以523就不能被3整除。 师：咱们也再除除看。怎么样？证明了咱们研究的方法是正确的。好了，我们已经分析了几个数了。仔细观察一下，有什么发现吗？ 生：如果各个数位上的数的和能被3整除，那么这个数就能被3整除。
师：她一下就发现了，各个数位上的数的和要是能被3整除，这个数就能被3整除。是这样吗？
生[齐]：是。
师：可是刚才咱们研究的，全是这些剩下的数。这些剩下的数与原来的这个数各个数位上的数有什么关系？
生[齐]：一样。
师：[指着有关的板书]剩下的数与原来这个数各个数位上的数一模一样。既然如此，咱们就可以把各个数位上的数，直接看成是剩下的零散的数。那么能被3整除的数到底有什么特征，谁能总结一下？先互相说一说。
生：[相互议论]
师：好，谁说？
生：一个数各个数位上的数相加，如果能被3整除，这个数就能被3整除。
师：谁再说？
生：一个数各个数位上的数相加，如果它们的和能被3整除，那么这个数就能被3整除。 师：有问题吗？
　　例如438，各个数位上的数的和，就是4加3加8，得15。15能被3整除，438就能被3整除。
　　同学们概括的不错。咱们再来看看书，看看书上是怎么说的。
生：[阅读教材]
师：书中说的，和我们总结出来的能被3整除的数的特征一样吗？
生[齐]：一样。
师：大家齐读一遍书上的结论。
生：[齐读]
师：好。[板书：各个]
　　你们知道我为什么把“各个”这两个字板书出来吗？
生：“各个”就是指所有数位上的数。假如一个三位数就不能只加两位。
生：这两个字是重点。
师：为什么是重点呢？
　　能被2、5整除的数，我们只看个位数。今天学的能被3整除的数，看什么位？
生[齐]：看各个数位上的数。
师：这是和我们前面学的能被2、5整除的数，不一样的地方。
　　一开始我就说，你们要说123能被3整除，老师立刻就能说出一组数都能被3整除，现在你知道这是为什么了吗？
生：因为这些数各个数位上的数的和没有变。
师：对了。我就是利用了能被3整除数的特征。好了，下面做个练习。
　　[投影：判断下面各数，能否被3整除]
　　请大家用手势告诉我。
　　第一个：207。
　　都认为能被3整除，怎么判断的？
生：2加7等于9，9能被3整除，207就能被3整除。
师：[投影出第二个：891]
　　好，全部都对。
　　[投影出第三个：193]
　　噢，不能被3整除，为什么？
生：因为各个数位上的数加起来，不能被3整除，所以这个数不能被3整除。
师：[继续组织学生判断136，222，450，3024]好，我们再看一个题。[投影：在下列各数的□中，填上几，这个数就能被3整除]
　　第一个：17□。
生：填上1。
师：还有吗？
生：能填4。
师：还有吗？
生：能填7。
师：还有吗？
生[齐]：没有了。
师：这样的题应该怎么想？
生：把各个数位上的数加起来，看一看与3的倍数相差几，就填几。
师：先把1和7加起来，是8。8不是3的倍数。要使它成为3的倍数，可以先找最小填几。这是8，填上几就可以是3的倍数了？
生[齐]：填上1。
师：确定了1就好办了，我们就可以怎么想？
生：依次加3。
师：这个数[投影出4□2]，你们能否一下子说全？
生：可以填3，6，9。
师：还有吗？
生：还有0。
师：对了，如果先想到0，然后再依次加3，就很容易一下子填全。
　　答案不唯一，只要保证什么就对了？
生：只要保证各个数位上的数加起来，它们的和能被3整除，这个数就能被3整除。
师：好，我们再做个练习。
　　我这里有一些卡片，卡片上的数可能能被2整除，也可能能被5整除，还可能能被3整除。请你用伸出的手指告诉老师，它到底能被几整除。
　　[卡片一：58]
生：[伸出2个手指]
师：[卡片二：115]
生：[伸出5个手指]
师：[卡片三：207]
生：[伸出3个手指]
师：[卡片四：80]
生：[有的伸出2个手指，有的伸出5个手指，更多的学生分别伸出2个和5个手指]
师：这个数同时能被2和5整除，用两只手表示2和5的同学是正确的。
　　[卡片五：45]
生：[多数学生伸出5个和3个手指]
师：对了。先看个位数，再看各个位数，进行两次判断，这很好。
　　[卡片六：108]
生：[伸出2个和3个手指]
师：很好。我这里有两套数字卡片，每套都是0到9一共10个数字。[把两套数字卡片摆在黑板上]咱们用这些数字卡片做一个接力比赛。全班同学分成两大组，每组各出两名代表，用本组的一套卡片组数。第一个同学用3张卡片组成一个同时能被2、3整除的三位数；第二个同学立刻从剩下的卡片中选出3张，组成一个同时能被5、3整除的三位数。哪队组得又对又快，哪队为优胜。清楚了吗？
　　好，准备，开始。
　　第一组，第一人组成了132，第二人组成了765。
　　第二组，第一人组成了150，第二人从剩下的卡片中选不出3张卡片，组成一个能同时被5、3整除的三位数。
师：第二组的第二人为难了。
生：他把我要用的数全用完了。
师：能被5整除的数个位应该是5或0，第二组第一个同学做对了；但遗憾的是他没有为第二个同学着想，所以第二个同学组不出来了。把“0”让给他好不好？怎么改一下？[第二组第一个同学把自己组的数改成156，第二个同学立刻组成390]
师：好了，通过这次比赛，使我们对能同时被5和3整除的数的特征，认识的更深刻了。咱们再来做个练习，[板书：0、1、2、4、5]这里有5个数字，请你用这些数字组成同时能被2、3、5整除的三位数(每个数字不限用一次)，我只给20秒，看谁组的多、请写在本上，开始。
生：[在本上组数]
师：时间到，有人组了三个，有人组了四个，最多的组了八个。我请一位组的最多的同学来说一说。
生：120，210；150，510；240，420；450，540。
师：对不对？
生[齐]：对。
师：发现什么了吗？
生：个位必须是0。
师：对，只有这样才能同时被2和5整除。还发现什么了？他为什么组得这样快？
生：每两个数都是交换一下位置，其实组四个数，一交换就可以得到八个数。
师：对了。120能被2、3、5整除，210也一定能被2、3、5整除。他很好地运用了能被2、3、5整除数的特征。我们要特别表扬他。有什么问题吗？没有，好。我这里还有个数[卡片：5169]，谁告诉老师这个数能被3整除吗？
生：能。
师：这么大的一个数，那么快就判断出来了，根据是什么呢？
生：用的是能被3整除的数的特征。
师：能不能更巧妙一点？
生：5加上1能被3整除，那个6和9本来就能被3整除，所以这个数能被3整除。
师：想一想刚才我们打捆的情况，5169中的9，可以打成整捆吧；5169中的6也可以打成整捆吧，这样我们就可以不考虑它们了。只有5和1，把它们合起来也可以打成整捆，所以5169能被3整除。这样就是更巧妙地运用规律了。
　　这节课学的是什么？
生[齐]：能被3整除的数。
师：这节课你有什么收获？
生：通过这节课，我懂得了能被3整除的数的特征，以后我再见到一个数目，就能很快地判断出它能不能被3整除。
师：还有别的吗？
生：如果我遇到一个大数，我可以见3的倍数就消，然后把余下的数相加，相加的和要能被3整除，这个数就能被3整除。
师：运用规律，形成能力，这也是我们的收获。还有问题吗？没有啦，我们留一下作业(略)。下课。