绿色圃中小学教育网

 找回密码
 免费注册

QQ登录

只需一步,快速开始

查看: 8149|回复: 0

借助一次函数模型作决策

[复制链接]
发表于 2008-1-26 16:27:00 | 显示全部楼层 |阅读模式
河北省唐县齐家佐乡葛公中学 张红建
决策类一次函数模型是中考重要模型,它是刻画变量之间关系的有效数学模型,现实生活中的许多问题可以通过建立一次函数模型去研究它,在中考试题中占有重要地位,这类试题往往与方程、不等式(组)结合在一起,需要灵活运用不等式(组)及一次函数的性质,确定自变量的值,进而对问题作出合理决策。 


这类应用题重在考查学生阅读能力,应用数学知识分析问题能力,建立数学模型解决实际问题能力,培养学生应用数学的意识。要解好此类问题必须做到:
  


一是建摸。它是解答应用题的最关键的步骤,即在阅读材料,理解题意的基础上,把实际问题的本质抽象转化为数学问题,从而根据题意建立一次函数模型。  


二是解摸。即运用所学的知识和方法对数学模型进行分析、运算,解答纯数学问题,最后检验所得的解,写出实际问题的结论。


现以06年的中考题为例对此类问题的解法作一说明,望对同学生们的复习能有所帮助。




一、由方程(组)确定决策点


1、由题目条件建立方程(组),求得决策点


这类试题的特点是由题目的条件,分析出两个解析式,由两解析式组成方程组,求得方程组的解,从而建立讨论点。


例1:(06锦州)小刚家装修,准备安装照明灯.他和爸爸到市场进行调查,了解到某种优质品牌的一盏40瓦白炽灯的售价为1.5元,一盏8瓦节能灯的售价为22.38元,这两种功率的灯发光效果相当.假定电价为0.45元/度,设照明时间为x(小时),使用一盏白炽灯和一盏节能灯的费用分别为y1(元)和y2(元)[耗电量(度)=功率(千瓦)×用电时间(小时),费用=电费+灯的售价].



(1)分别求出y1、y2与照明时间x之间的函数表达式;



(2)你认为选择哪种照明灯合算?



(3)若一盏白炽灯的使用寿命为2000小时,一盏节能灯的使用寿命为6000小时,如果不考虑其他因素,以6000小时计算,使用哪种照明灯省钱?省多少钱?


  解:(1)根据题意,得,即


  ,即.


  (2)由y1=y2,得0.018x+1.5=0.0036x+22.38,解得x=1450;


  由y1>y2,得0.018x+1.5>0.0036x+22.38,解得x>1450;


  由y1<y2,得0.018x+1.5<0.0036x+22.38,解得x<1450.


  ∴当照明时间为1450小时时,选择两种灯的费用相同;当照明时间超过1450小时时,选择节能灯合算;当照明时间少于1450小时时,选择白炽灯合算.


  (3)由(2)知当x>1450小时时,使用节能灯省钱.


  当x=2000时,y1=0.018×2000+1.5=37.5(元);


  当x=6000时,y2=0.0036×6000+22.38=43.98(元),


  ∴3×37.5-43.98=68.52(元).


  ∴按6000小时计算,使用节能灯省钱,省68.52元.


  点拔:解决此问题的关键是分析题意,由题意建立一次函数模型,进一步通过两函数解析式组成的方程组确定分类讨论点,根据一次函数的性质做出决策,第三问需要把所给的自变量的值直接代入一次函数的解析式,通过比较两上费用的大小作出决策。


2、借助图像信息,建立方程组确定决策点


图象信息问题的重点是观察图象,从中获取信息,并且要常常进行“数”与“形”之间的互换,如函数图象如何转化为函数解析式,图像中的信息如何转化为数据,进而转化为方程与函数,几何图形的线段如何转化为距离,等等,这里涉及函数、方程、几何知识的综合运用,则是本类题的难点,


2:(2006 梧州非课改)甲、乙两个同学同时从各自的家里返回同一所学校,他们距学校的路程(千米)与行走时间(小时)之间的关系如图所示.请根据图象所提供的信息解答下列问题:


  (1)分别求出甲、乙两同学距学校的路程(千米)与(小时)之间的函数关系式.


  (2)在什么时间,甲、乙两同学距学校的路程相等?在什么时间段内,甲同学比乙同学离学校远?在什么时间段内,甲同学比乙同学离学校近?





 


  解:(1)设甲同学距学校的路程(千米)与(小时)之间的函数关系式为.由图可知,函数的图象经过点


   
解得   


  设乙同学距学校的路程(千米)与(小时)之间的函数关系式为


  由图可知,函数的图象经过点


    解得    


  (2)由题意得,,解得. 


  所以当行走了小时的时候,甲、乙两同学距学校的路程相等.



  由图象知,当时,甲同学比乙同学离学校远. 


       当时,甲同学比乙同学离学校近.


  例3:(2006 吉林课改)小明受《乌鸦喝水》故事的启发,利用量桶和体积相同的小球进行了如下操作:





  请根据图中给出的信息,解答下列问题:


  (1)放入一个小球量桶中水面升高___________


  (2)求放入小球后量桶中水面的高度)与小球个数(个)之间的一次函数关系式(不要求写出自变量的取值范围);


  (3)量桶中至少放入几个小球时有水溢出?


  解:(1


  (2)设,把代入得:


  解得


  (3)由,得,即至少放入个小球时有水溢出.


  二、由不等式确定决策范围


  此类问题的特点是自变量的取值范围蕴含于题目的条件中,需要我们有良好的数据分析与概括能力从题目本分离出取值范围。


  例4(06临沂)某报亭从报社买进某种日报的价格是每份0.30元,卖出的价格是每份0.50元,卖不出的报纸可以按每份0.10元的价格退还给报社。经验表明,在一个月(30天)里,有20天只能卖出150份报纸,其余10天每天可以卖出200份。设每天从报社买进报纸的份数必须相同,那么这个报亭每天买进多少份报纸才能使每月所获利润最大?最大利润是多少?


  解:设该报亭每天从报社买进报纸x份,所获月利润为y元。根据题意,得


  y=0.500.30x·10(0.500.30)×150×20(0.100.30)(x150)×20.


  (150≤x≤200)   


  即y=-2x+1200(150≤x≤200).由于该函数在150≤x≤200时,y随x的增大而减小,所以当x=150时,y有最大值,其最大值为:-2×150+1200=900(元)


  答:报亭每天从报社买进150份报纸时,每月获得利润最大,最大利润为900元。


  点拔:本题的情景也是我们日常生活中经常遇到的决策性问题.解决此类问题的关键是根据题目中的条件列出解析式,再通过分析题意找出自变量x的取值范围,最后根据一次函数的增减性及取值范围,确定自变量x的值,进而求得最大利润,最后作出决策。


  三、由不等式组确定决策范围
此类问题的特点是,把题目中的一些条件蕴含于表格之中,通过分析表格与题目条件才能得到方程组,进而得到自变量的取值范围,找出讨论点。


  例5(06益阳市)城西中学七年级学生共400人,学校决定组织该年级学生到某爱国主义教育基地接受教育,并安排10位教师同行.经学校与汽车出租公司协商,有两种型号的客车可供选择,其座位数(不含司机座位)与租金如右表,学校决定租用客车10辆.


(1)为保证每人都有座位,显然座位总数不能少于410.设租大巴x辆,根据要求,请你设计出可行的租车方案共有哪几种?




大巴
中巴
座位数(个/辆)
45
30
租金(元/辆)
800
500



  (2)设大巴、中巴的租金共y元,写出yx之间的函数关系式;在上述租车方案中,哪种租车方案的租金最少?最少租金为多少元?


  解:(1)根据题意得解得:


  又因为车辆数只能取整数,所以


  故租车方案共3种:①租大巴8辆,中巴2辆;②租大巴9辆,中巴1辆;③租大巴10辆.


  (2)


  为一次函数,且yx的增大而增大.


  ∴x取8时,y最小.


  答:租大巴8辆,中巴2辆时租金最少,租金为7400元.


  点拔:此类问题为一次函数与不等式的综合题,要解决此问题首先需要根据实际问题建立不等式组,从而得出自变量的取值范围,经分类讨论得到适合条件的解,然后再根据一次函数的增减性最后确定选择方案。


  四、由题目条件,自动生成分类讨论点


  例6:(06遂宁)有一种笔记本原售价为每本8元。甲商场用如下办法促销:每次购买1~8本打九折、9~16本打八五折、17~25本打八折、超过25本打七五折


乙商场用如下办法促销:


购买本数(本)
1~5
6~10
11~20
超过20
每本价格(元)
7.60
7.20
6.40
6.00


(1)、请仿照乙商场的促销表,列出甲商场促销笔记本的购买本数与每本价格对照表;


  (2)、某学校有A、B两个班都需要购买这种笔记本。A班要8本,B班要15本。问他们到哪家商场购买花钱较少?


  (3)、设某班需购买这种笔记本的本数为x,且9x≤40,总花钱为y元,从最省钱的角度出发,写出y与x 的函数关系式


解:(1)甲商场的促销办法列表为:


购买本数()
18
916
1725
超过25
每本价格()
7.20
6.80
6.40
6.00


(2)A班在甲商场购买至少需576元,而在乙商场购买也至少需要576元,所以A班在甲商场购买、乙商场购买花钱一样多.


  若B班在甲商场购买至少需102元,而在乙商场购买至少需要96元,所以B班在乙商场购买花钱较少.


  (3)由题意知,从最省钱的角度出发,可得yx的函数关系式为:


      


  点评:此类问题,多用于商品的促销活动中,大多属于分段函数,即在不同的取值范围内有不同的解析式,需要我们根据取值范围的不同列了不同的解析式,通过对解析式的比较,发现问题,得出结论,从而做出决策。


  五、由一次函数与二次函数的综合来共同决策


  6(06绵阳)某产品每件的成本是120元,为了解市场规律,试销阶段按两种方案进行销售,结果如下:


  方案甲:保持每件150元的售价不变,此时日销售量为50件;


方案乙:不断地调整售价,此时发现日销售量y ()是售价x ()的一次函数,且前三天的销售情况如下表:


x ()
130
150
160
y ()
70
50
40


⑴如果方案乙中的第四天、第五天售价均为180无,那么前五天中,哪种方案的销售总利润大?


  ⑵分析两种方案,为获得最大日销售利润,每件产品的售价应定为多少元?此时,最大日销售利润S是多少?


  (注:销售利润 = 销售额

成本额
,销售额 = 售价×销售量)


  解:(1)设方案乙中的一次函数解析式为y=kx+b,


  ,解得k=-1,b=20.


  ∴方案乙中的一次函数为y=-x+200


  ∴第四天、第五天的销售量均为:-180+200=20件。


  ∴方案乙前五天的总利润为:130×70+150×50+160×40+180×20+180×20-120×(70+50+40+20+20)=6200元。


  ∵方案甲前五天的总利润为:(150-120)×50×5=7500元,显然6200<7500,∴前五天中方案甲的总利润大。


  (2)若按甲方案中定价为150元/件,则日利润为(150-120)×50=1500元。


  对乙方案:∵S=xy-120y=x(-x+200)-120(-x+200)


  =-x2+320x-24000


  =-(x-160)2+1600


  即将售价定在160 元/件时,日利润最大,最大利润为1600元


  ∵1600>1500 ,


  ∴将产品的销售价定在160元/件,日销售利润最大,最大利润为1600元。


  点拔:此题具有较强的综合能力,首先需要分析题意理出两种销售方式(甲销售方式为一次函数关系,乙销售方式为二次函数关系),进而把一次函数与二次函数结合在一起,这是两种不同类型的函数模型,最后分别求出两种函数模型的最大值通过比较求得最大利润,最终做出决策采用哪种消费方案。  


回复

使用道具 举报

您需要登录后才可以回帖 登录 | 免费注册

本版积分规则

绿色圃中小学教育网 最新主题

GMT+8, 2024-3-29 14:56

绿色免费PPT课件试卷教案作文资源 中小学教育网 X3.2

© 2013-2016 小学语文数学教学网

快速回复 返回顶部 返回列表