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构造斜边上的中线与高解决斜边的最小值问题

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发表于 2008-2-6 09:21:00 | 显示全部楼层 |阅读模式
中考中经常考察直角三角形斜边的两条重要的线段,一是斜边上的高,另一个是斜边上的中线,从形状上来说,直角三角形斜边上的高把直角三角形分得两个小直角三角形,而斜边上的中线则把它分为两个小等腰三角形;从长度上来说,直角三角形斜边上的高是直角顶点到斜边上所有点之中距离最短的,其长度可以用两直角边乘积除以斜边求得;而斜边上的中线等于斜边的一半。


本文从构造的角度,说明当直角三角形斜边上的高与中线相结合时,如何解决斜边的最小值问题。


案例一:(2006贵阳市)如图,在平面直角坐标系中,以坐标原点O为圆心,2为半径画⊙O,P是⊙O上一动点,且P在第一象限内,过点P作⊙O的切线与轴相交于点A,与轴相交于点B。


(1)点P在运动时,线段AB的长度在发生变化,请写出线段AB长度的最小值,并说明理由;


(2)在⊙O上是否存在一点Q,使得以Q、O、A、P为顶点的四边形时平行四边形?若存在,请求出Q点的坐标;若不存在,请说明理由。







【分析】:本题问题(1)中,要求解线段AB的最小值,而A、B点都随切线的改变而改变,不好直接求其最值,而在Rt⊿OAB中,线段AB为斜边,取AB的中点C,连结OC,这样就利用斜边上的中线等于斜边的一半得到OC=AB,求出OC的最小值而就可以解决斜边AB的最小值,又因为⊙O与边相切,连结O与切点P,所以半径OP⊥AB, 由图可以知,Rt⊿OAB中,斜边上的中线OC    斜边上的高OP, 当OC=OP时,OC最短,即AB最短,此时AB=4。


案例二:(常州市2007年)如图,在中,,经过点且与边相切的动圆与分别相交于点,则线段长度的最小值是(



A    B.     C.       D.



【分析】:本题中,由,可知∠ACB=90°,要求解线段PQ的最小值,而P、Q点都随动圆在改变,不好直接求其最值,而在Rt⊿PQC中,线段PQ为斜边,取PQ的中点O(O点也是动圆的圆心),连结OC,这样就利用斜边上的中线等于斜边的一半得到OC=QP,又因为⊙O与边相切,连结O与切点E,所以半径OE⊥AB,OE=OC=QP,即OE+OC=QP,求出OE+OC的最小值而就可以解决斜边PQ的最小值,OE+OC的最小值就是在Rt⊿ABC中C点到AB的距离,也就是Rt⊿ABC斜边上的高CF。即PQ长度的最小值等于6×8÷10=4.8。



从上面两个案例我们发现,当求直角三角形斜边的最小值问题时,我们通常是构造出斜边上的中线,然后把求斜边的最值问题转化成求斜边上中线的最小值问题,而往往斜边上中线的最小值又与斜边上的高有关,最后由确定斜边上高来求出斜边的最值问题。
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