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学习等腰三角形的性质和判定——分类讨论记心间

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发表于 2008-2-6 09:24:00 | 只看该作者 回帖奖励 |倒序浏览 |阅读模式
分类思想是解题的一种常用思想方法,它有利于培养和发展学生思维的条理性、缜密性、灵活性,学生只有掌握了分类的思想方法,在解题中才不会出现漏解的情况.在学习等腰三角形的性质和判定时,分类讨论的思想尤为重要,希望同学们谨记心间,现举几例予以说明:

  一、由于题目条件的不确定性引发结论不唯一:


  例1已知等腰三角形的一个内角为65°则其顶角为( )


  A. 50° B. 65° C. 115° D. 50°或65°


  解析:65°角可能是顶角,也可能是底角。当65°是底角时,则顶角的度数为180°-65°×2=50°;当65°角是顶角时,则顶角的度数就等于65°。所以这个等腰三角形的顶角为50°或65°。故应选D。


  提示:对于一个等腰三角形,若条件中并没有确定顶角或底角时,应注意分情况讨论,先确定这个已知角是顶角还是底角,再求解。


  例2、 已知等腰三角形的一边等于3,另一边等于4,则它的周长等于_________。


  解析:已知条件中并没有指明3和4谁是腰长,因此应由三角形的三边关系进行分类讨论。当3是腰长时,这个等腰三角形的底边长就是4,此时等腰三角形的周长等于10;当4是腰长时,这个三角形的底边长就是3,则此时周长等于11。故这个等腰三角形的周长等于10或11。


  提示:对于底和腰不等的等腰三角形,若条件中没有明确哪是底哪是腰时,应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论。


  例3、 若等腰三角形一腰上的中线分周长为12cm和9cm两部分,求这个等腰三角形的底和腰的长。


  解析:已知条件并没有指明哪一部分是9cm,哪一部分是12cm,因此,应有两种情形。若设这个等腰三角形的腰长是xcm,底边长为ycm,可得




  
解得


即当腰长是6cm时,底边长是9cm;当腰长是8cm时,底边长是5cm。


  提示:这里求出来的解应满足三角形三边关系定理


  二、由于题目条件得出的图形不确定性引发结论不唯一:


  例4、 等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为55°,求这个等腰三角形的顶角的度数。


  解析:依题意可画出图1和图2两种情形。图1中顶角为35°,图2中顶角为145°。


  


  例5、 皂户李中学为美化环境,计划在校园的广场用的草皮铺设一块一边长为10的等腰三角形绿地,请你求出这个等腰三角形绿地的另两边长。


  解析:在等腰ΔABC中,设AB=10,作CD⊥AB于D,由,可得CD=6。如下图,当AB为底边时,AD=DB=5,所以


  


  如下图,当AB为腰且ΔABC为锐角三角形时,


  ,所以


  


  


  如下图,当AB为腰且ΔABC为钝角三角形时,


  


  所以


  


  提示:三角形的高是由三角形的形状决定的,对于等腰三角形,当顶角是锐角时,腰上的高在三角形内;当顶角是钝角时,腰上的高在三角形外。


  例6、在ΔABC中,AB=AC,AB的中垂线与AC所在直线相交所得的锐角为45°,则底角∠B=____________。


  解析:按照题意可画出如图1和如图2两种情况的示意图。


  如图1,当交点在腰AC上时,ΔABC是锐角三角形,此时可求得∠A=45°,所以


  ∠B=∠C=(180°-45°)=67.5°。


  如图2,当交点在腰CA的延长线上时,ΔABC为钝角三有形,此时可求得


  ∠BAC=135°,所以∠B=∠C=(180°-135°)=22.5°


  


  故这个等腰三角形的底角为67.5°或22.5°。


  提示:这里的图2最容易漏掉,求解时一定要认真分析题意,画出所有可能的图形,这样才能正确解题。
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