解决数学问题的化归策略

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在解决某些数学问题时，我们常采用转化手段，将待解决的问题归结为相对容易解决或已有固定解决程式的另一问题，通过对这一问题的解决，得到原问题的解答。这种处理问题的方法就是化归。它是转化和归结的简称，是解决数学问题的一般思想方法。选择恰当的转化手段进行正确有效的化归是解决问题的关键。这里介绍几种常用的化归策略。 一、寻找恰当的映射（对应关系）实现化归 数学知识的内在联系有许多是映射。利用映射，可将待解决的问题转化为另一问题。 1、平面上的点与有序实数对集合的映射 笛卡尔通过建立坐标系，确定了平面上的点与有序实数对的一一对应关系，把几何问题转化为代数问题，创立了解释几何。由此我们可以把判断点P（6，3）是否在抛物线上，变成判断是否是方程的解；求直线与双曲线交点问题，变成求方程组解的问题。 例1、已知：关于x的一元二次方程的一个根为，且二次函数的对称轴是直线，则抛物线的顶点坐标为 分析 根据方程与函数的对应关系可知：方程的一个根为，那么，函数当自变量时，函数值     即点（2，3）在抛物线上；又因为抛物线的对称轴是直线，则（2，3）为抛物线的顶点。 2、代换。变量替换、换元、增量替换、等代换都是特殊的映射。 例2、若a、b为互不相等的实数，且，，则的值为 分析：用变量x替换a、b。即根据条件的特殊结构，由方程解的定义可知：a、b是方程的两个不等实根。由韦达定理得，。利用已知条件，把所求代数式变形，再整体代换 例3、已知x、y、z为实数，且，，求的值 分析：方法1   增量代换。取x与y的和8的平均值4为标准量，进行增量代换（也称为均值换元法），设，，则，即 故；∴ 　　∴ 方法2    变量代换。把已知条件变形，可知：x、y是关于t的一元二次方程……①的两个根。△t=　 ∵方程①有实根　　∴　△t≥0   则， ∴（以下略） 利用代换法解题，关键在于根据问题的结构特征，适当选取能够以简驭繁、化难为易的变换，实现问题的转化。因此，要注意分析问题的结构特征，对已知条件适当变形，同时要善于发现题目中的特殊结构，挖掘题目中隐含的特殊关系，利用这些特殊条件进行代换。 二、转换语义实现化归 数学中，每一种数学语义（概念、关系等），一般都有一种确定的数学符号（式）表示，但不同的数学语义可能是由同一种数学符号（式）表示的。也就是说，一种数学符号（式），可作不同的语义解释，如表示a与b差的绝对值，又表示数轴上a，b两点的距离。语言是思维的载体，是思维的外部表现形式，同一种数学语义的内容可以用文字语言、符号语言、逻辑语言、图形语言、表格等不同的数学语言形式表示。因此，通过语义转换，能使一个问题转化为另一个较简单明了的问题。 1、等价转换 将一种数学语言翻译成另一种语言形式；或将一种形式意义翻译成另一种形式意义，这种以对象“释”对象，就是等价转换。如点P在⊙O上（R为⊙O半径）；两圆外切（d为圆心距，R、r为两圆半径）；原命题等价于逆否命题。 2、数形转化 数和形反映了事物的两个方面，数无形，少直观；形无数，难入微。因此，在解决问题时，常要把同一数学对象进行代数释意与几何释意，实现“数”与“形”的语义转化。也就是说，将数（量）与（图）形结合起来进行分析、研究，通过数的计算去找图形之间的联系，用“数”的知识解决“形”的问题；根据条件画图形或结合所给图形去寻找数之间的联系，用“形”的知识解决“数”的问题，这种数形结合的思想是解决数学问题的切入点。 例4、△ABC中，AB=AC=4，BD交AC于E，，且CE=1。求（2001年全国初中数学联赛） 分析 根据题意，由AB=AC，，可构造一个以A为圆心，AB为半径的辅圆（如右图，∠BDC为圆周角），直径，，由相交弦定理可知， 例5、 计算 分析 方法1：将边长为1的正方形割取一半；第二次再将余下矩形割取一半……依此分割（如图），可以看出每次割取的部分（矩形）与余下的部分（矩形）面积相等。那么割取的各部分矩形面积之和应等于正方形的面积1减去最后一次余下的矩形面积。即        …… ① 方法2：将长为1的线段截取一半；第二次再将余下线段截取一半……依次截取（如图），这样每次截取的线段长与余下的线段长相等，则截取的各线段长度之和等于原线段长度1减去最后一次剩余线段的长度（计算如上式①） （本题也可以用换元法来解：设……① 两边都乘以2得……② ②-①得 ） 三、一般化与特殊化 1、特殊化 “特殊”问题往往比“一般”性问题显得简单、直观和具体，容易解决，并且在特殊问题的解决过程中，常常孕育着一般问题的解决方法。因此，在某个数学问题难以解决时，常可先研究它的特殊情况，然后再把解决特殊问题的方法或结果应用、推广到一般问题上而获得解决。初中教材中有许多一般性问题是用特殊化法解决的，如圆周角定理的证明，先证明圆心在圆周角一条边上这种特殊情况，然后把这种证明思路应用到圆心在角的内部、外部的非特殊情况证明上，最后进行归纳，使问题得以解决。 例5、如图甲，正方形ABCD的对角线相交于点O，O又是正方形A1B1C1O的一个顶点，两个正方形的边长相等，那么无论正方形A1B1C1O绕点O怎样转动，两个正方形重叠部分的面积，总等于一个正方形面积的（定值），想一想为什么？（新课标版八年级下册教材第116页） 分析 一般情况下，两个正方形重叠部分是一个四边形（图甲阴影部分），不易确定其面积的大小。不妨将绕O旋转的正方形置于特殊位置（图乙），此时易得重叠部分（△AOB）的面积是正方形ABCD面积的，余下的问题就是证明在一般情形下（图甲），重叠四边形OEAF的面积等于△OAB面积。用割补法，证即可。 2、一般化 一般化是与特殊化相反的一个过程。有些数学问题，由于其特殊数量或位置关系，孤立地考察问题本身，造成我们只见“树木”不见“森林”，难以解决。这时，要把问题的某些因素或结构形式拓展到一般情况，借助一般化的结论或方法，使问题顺利解决。 例6、计算 分析 数字较大，运算繁，不易发现隐含的一般性质，设，则 原式 运用一般化策略解决问题，要仔细观察，分析题目的特征，从中找出能使命题一般化的因素，以便把特殊命题拓广为包含这一特殊情况的一般问题，同时要求这一问题的解决应包含着特殊问题的解决。