帮你揭开几何图形的面纱

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本章主要介绍了学习几何图形与实物的关系，图形的基本要素（点、线、面），借助平面图形认识几何体的三种手段（将几何体表面展开，从不同的方向看几何体、用平面去截几何体）。现与同学们共同归纳总结一下：

　　一、知识结构图


　　　　　　　　


　　二、知识归纳


　　1．几何体是从实物中抽象出的数学模型。识别几何体，应以直观观察为主，常见几何体的基本特征


　　长方体：有8个顶点、12条棱、6个面，且每个面都是长方形.想一想：正方体呢？


　　棱柱：上下两个面为棱柱的底面（它们的大小与形状完全相同），其它各个面为棱柱的侧面，且每个侧面都是长方形.


　　圆柱：上下两个底面是半径相同的两个圆，侧面是由一个曲面围成.想一想：圆锥和球各有什么特征？如圆柱：特征如两个底面是相等的圆等。圆锥：特征如象锥子，底面是个圆等。棱柱：特征如底边是多边形，侧面是长方形等。但这类特征并非是要做出严密的、科学的结论，可因观察者的视角变化而变化。


　　2．生活中的立体图形都是由最基本几何图形组成的，其中线是由点组成的，面是由线构成的，体是由面围成的。用运动的观点看，即“点动成线、线动成面、面动成体”。


　　3．几何体与其表面展开图之间的互相关系，即折叠与展开关系，不仅是一个思考过程，也是一个实际操作过程。几何体展开得到的平面图形不是唯一的，剪开的方式不同，得到的平面展开图是不一样的。因此考虑问题必须要周全，否则，容易在解题时因考虑不周而导致出错。


　　4．在观察过程中，从不同方向观察同一物体可能看到不同的结果，所以一般要从正面、左面、上面三个不同的方向进行观察，才能描述出正确的几何体。


　　5．同一个几何体，可以有不同的截面，反过来，同一个截面，可存在于不同的几何体中。仅凭一个截面，往往是推不出原来的几何体的。如用一个平面去截一个几何体，得到的截面是三角形，这个几何体可能是圆锥、三棱柱、正方体或长方体，而一个圆柱可截出圆、长方形或正方形等。要判定一个截面的形状，首先找出平面和几何体的面相交而成的线，其次判断这些线围成的截面的形状。


　　6．画出几何体的表面展开图、从不同的方向看几何体、用平面截几何体是三种将立体图形转化为平面图形进行研究的手段。


　　三、考点例析


　　考点1　几何体的分类：


　　例1、下列几何体中是圆柱的为（　　）.


　　　　　　　


　　析解：解决本题的关键是根据图形特征，区分三棱锥与圆锥、四棱锥、五棱锥，可从底面的形状入手进行判断。B中的底面是圆，故不是棱锥，C的底面是四边形，D的底面是五边形，它们都不是三棱锥，只有A是三棱锥。


　　温馨提示：将几何体分类，方法并不唯一，只要能说明分类的理由即可．但要注意：按某一标准分类时，要做到不重不漏，分类标准不同时，分类的结果也就不尽相同．


　　练习1：请将图1中的5个几何体进行分类，并说明它们是由哪些面围成的？


　　　　　　　　


　　考点2   图形的展开与折叠：


　　例2、（2007年北京）右图所示是一个三棱柱纸盒，在下面四个图中，只有一个是


　　这个纸盒的展开图，那么这个展开图是（
）


　　　　　　


　　析解：此题考查同学空间想象能力的推理能力，A答案中，不妨把圆作为前面展开，则有一个三角形在左和另一个三角形应在上，而上方是空白的，所以不对。B答案中，还是以圆作为前面来展开，右边三角形应在左边，所以也不对，C答案中，前面、左面、上面这三个面在展开图中不可能出现在一条线上。因此本题答案选D。


　　例3、（2007年陕西课改）下面四个图形中，经过折叠能围成如图只有三个面上印有图案的正方体纸盒的是（
）


　　　　　　　


　　解析：在正方体的表面展开图中，相对的面只能看到一个，即带“小三角形”“正方形”“圆”的面不能是相对的面，所以应选择B


　　温馨提示：判断一个平面图形是不是某立体图形的平面展开图，需要从底面和侧面的情况进行分析，反之相同，因此在平时的学习中，要多进行常见立体图形的实验和操作，并从多角度进行观察、分析，从中总结规律，这样在解题时就不需要一个个进行操作实验，根据这些规律，即可快捷的解决问题。


练习2：如左图所示的立方体，将其展开得到的右图中的图形是（
）


　　


　　　　　　


　　练习3：下面4个图均由6个小正方形组成，若以每个小正方形为面，则可以折叠成正方体的是（
）.


　　　　　　　


　　考点3  立体图形的三视图


　　例4、(2007山西临汾）右图是由相同小正方形搭的几何体的俯视图（小正方形中所标的数


　　字表示在该位置上小正方体的个数），则这个几何体的左视图是（
）


　　
　　
　　

D

C

B

A

　　


　　析解：根据该几何体从上面看得到的平面图，可知其从正面看得到的平面图形有三列：第一列有3个小立方块，第二列有2个小立方块，第三列有1个小立方块。其从左面看得到的平面图形也有三列：第一列有1个小立方块，第二列有3个小立方块，第三列有2个小立方块。因此该几何体从正面看和从左面看得到的平面图形应为C。


　　温馨提示：由从上面看得到的平面图画从正面看和从左面看得到的平面图，其要领是：（1）从正面看得到的平面图与从上面看得到的平面图列数相同，其每列块数是从上面看得到的平面图中该列最大的数字；（2）从左面看得到的平面图的列数与从上面看得到的平面图的行数相同，其每列的方块数是从上面看得到的平面图该行中最大的数字；（3）从正面看得到的平面图的行数与从左面看得到的平面图的行数相同，其每行的方块数是从正面看得到的平面图中该行最大的数字。


　　练习4：如图是由小立方块堆成的几何体从上面看得到的平面图，小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数，请你画出该几何体从正面看和从左面看得到的平面图形。


　　　　　　　


　　考点4　几何体的“旋转构成”


　　例5、（2007年重庆课改）将如图所示的绕直角边旋转一周，所得几何体的主视图是（
）


　　　　　　　


　　分析：旋转之后得到如图所示的立体图形：则其主视图应为D


　　　　　　　　


　　（拓展）　将一个直角三角形ABC绕它的一边旋转，试画出旋转后所得到的几何体.


　　分析：由于题目中没有说明绕哪条边旋转，考虑到直角三角形有三条边，所以必须分三种情况，得到三个不同的几何体.


　　解：如图2分别沿三条边旋转一周，得到如图3所示的三个几何体：



　　　　　　　


　　温馨提示：在旋转过程中，若点在“轴”上，则旋转一周后该点的位置不变；若点不在“轴”上，则旋转一周后形成一个圆；与“轴”重合的线段旋转一周后仍然与轴重合；与“轴”垂直的线段旋转一周后得到一个平面（圆）；与“轴”不垂直的线段旋转一周后得一个曲面.


　　练习5：将三角形绕直线l旋转一周，可以得到图4所示的立体图形的是（　　）.


　　　　　　　　


　　考点5　几何体的截面


　　例6　用一个平面去截一个正方体，如果截去的几何体有四个面，请回答下列问题：


　　（1）截面一定是什么图形？


　　（2）剩下的几何体可能有几个顶点？


　　解：（1）如果截去的几何体是一个三棱锥，那么截面一定是一个三角形．


　　（2）剩下的几何体可能有7个、或8个、或9个、或10个顶点，如图9所示．


　　　　　　　　


　　温馨提示：本题是典型的开放性问题，对于七年级的你来说具有很强的挑战性．解题的关键在于抓住“截面为三角形”这一特点，于是可联想到上述各种不同情况．


　　练习6：如图10，如果把一个边长为2厘米的正方体截成八个边长为1厘米的小正方体，至少需截____次.


　　　　　　　　


　　考点6  能力拓展题


　　（1）探究型


　　例7、（2007年河北）用M，N，P，Q各代表四种简单几何图形（线段、正三角形、正方形、圆）中的一种．


　　图6-1—图6-4是由M，N，P，Q中的两种图形组合而成的（组合用“&”表示）．


　　　　　　　


　　那么，下列组合图形中，表示P&Q的是（
）


　　　　　　


　　分析：观察前几个图案中看得见情形归纳、猜想出线段、正三角形、正方形、圆分别用Q、N、M、P表示，则P&Q表示线段和圆的组合。应选择B


　　（2）猜想型


　　例8、一物体的外形为正方体，为探明其内部结构，给其“做CT”.用一组竖直方向(自左向右)的平面截这个物体，按顺序得到如图7的截面，请你猜猜这个正方体的内部构造.


　　　　　


　　　　　　　图7


　　析解：由截面形状去想象几何体与给一个几何体想象它的截面是一个互逆的思维过程，要根据所给截面形状仔细分析，展开想象。通过观察可以发现：在正方体内部的圆由上至下由点逐渐变成小圆、大圆，又逐渐变成小圆、点。通过这一变化过程可以猜想：


　　正方体中间有一球状(或椭球状、双侧圆锥状等)空洞


　　温馨提示：这类试题要求同学们从观察前几个图案中看得见情形进行归纳、猜想，综合考察了同学们对图形的观察和对数学规律的发现探究能力，是近两年中考的一类热点问题。


　　练习7：（2007年日照）如图，正方形ABCD的边长是3cm，一个边长为1cm的小正方形沿着正方形ABCD的边AB→BC→CD→DA→AB连续地翻转，那么这个小正方形第一次回到起始位置时，它的方向是（
）


　　　　　　


　　练习题答案：


　　1、图1中的（1）、（2）、（5）是柱体.其中（1）是长方体，它由6个长方形的平面围成；（2）是圆柱体，它由2个圆和一个曲面围成；（5）是棱柱体，它由2个三角形平面和三个长方形平面围成.（3）是锥体，它由一个圆和一个曲面围成.（4）是球体,它只由一个曲面围成.


　　2、B；  3、 B；  4、如图　　　　5、　　B；  6、7次　　　７、
B；