绿色圃中小学教育网

 找回密码
 免费注册

QQ登录

只需一步,快速开始

查看: 6322|回复: 0

例说数学思想方法

[复制链接]
发表于 2008-2-6 09:45:00 | 显示全部楼层 |阅读模式
数学习题浩瀚无边,问题又可变式发散,这样习题就林林总总,题量就千千万万,但是蕴涵在问题中的数学思想方法总是永恒不变的,它是数学的精髓,是解决问题的有效手段,是制胜的法宝,以下就本学期有关的数学思想方法做一个简单的阐述.


  一、化归思想

“化归”就是将未知的问题转化成我们已经解决的问题,将复杂的问题转化成简单的问题,也就是将 “未知”的问题“已知化”,“复杂”的问题“简单化”.化归思想是解决问题的常见思想方法.

  【例1】△ABC为等边三角形,三边的长均已在图中标出,的值.


                      

  分析
因为△ABC为等边三角形,故AB=BC=CA,所以2x-8=x+6=3y+2,稍加组合可得2x-8=x+6,可以求出x的值,然后回代又可求出y的值.


  解因为△ABC为等边三角形,故AB=BC=CA,所以2x-8=x+6=3y+2,
   又因为2x-8=x+6,解得,x=14,将x=14代入x+6=3y+2,
   解得,y=6,将x=14 y=6代入下式:
  


  点评:本题利用“化归”的思想,将三角形的三边的长转化成一元一次方程,此处应注意的是方程的组合,不同的组合可能得到的是二元一次方程组,从而加大了计算量和解答难度.


  二、分类讨论思想


 有时将问题看成一个整体时,则无从下手,若分而治之,各个击破,则能柳暗花明,分类讨论正是这一种思想,也是一种重要是数学思想方法,为了解决问题,将问题说涉及的是对象不遗漏地分成若干类问题,然后逐一解决,从而最终解决整个问题的目的.


  【例2】(五城市联赛题)若ab>0,求的值.


  分析:因为ab>0,则a>0,b>0或a<0,b<0,于是将问题分成两种情况进行讨论,不难得到结果.


  解:因为ab>0,则a>0,b>0或a<0,b<0,
  ①
当a>0,b>0时,
  =1+1-1=1.
  ②
当a<0,b<0时,
  =-1-1-1=-3.
  故当ab>0, =1或-3.


  点评:在分类讨论时,应注意不遗漏地将问题所涉级的各种情况作出讨论,最后应总结各种讨论的结果.


  三、整体思想


 与分解,分步处理问题相反,整体思想是将问题看成一个完整的整体,从大处着眼,由整体入手,突出对问题的整体结构的分析和改造,把一些彼此孤立实际上紧密联系的量作为整体考虑.在整体思想中,往往能够找到问题的捷径.


  【例3】已知,求的值.


  分析:若将问题中的x看成一个未知数,将其求出,然后代入后式中求值,显然计算复杂繁琐,计算量偏大,但将看成一个整体,通过通分得到,继而看作整体,求其倒数得到,对比联想,容易找到解决问题的思路.


  解:因为

    所以
,则

    所以
    将 代入=2000.


  点评:本题若不运用整体的思想方法解题,则计算复杂繁琐,而整体思想的运用,化难为易,整体思想是一种技巧,也是一种重要的思想方法.


  四、数形结合思想


 数形结合思想,是一种重要的思想,有时力图用图形来直观体现数量的关系,将抽象复杂的数(量),利用图形的直观表达,然后利用图形的性质(特征),分析解决问题,有时力图用数(量)来体现图形的关系,将图形的性质(特征),利用数(量)的关系来加以解决的思想方法,也是一种重要的思想方法.


  【例4】(北京市“迎春杯”数学竞赛题)已知:a>0,b<0,且a+b<0,那么有理数a,b,-a,的大小关系是
(用“<”连接).



  解析:因为b<0,=-b,因为a>0,b<0且a+b<0,根据有理数加法法则,可得,<,以形辅数,在数轴上表示它们的位置关系,又根据相反数的定义,可以得到a,b,-a,-b的位置关系.


  故b<-a<a<-b,即b<-a<a<
  【例5】如图,AC=AB,BD=AB, 且AE=CD,则CE为AB长的(

(A)

(B)
(C)
(D)





  分析:若将线段的长度具体数量化,则容易得到各线段的长度关系.


  解:设AB=12a,AC=
AB=4a,BD=
AB=3a,

    所以CD=AB-AC-BD=12a-4a-3a=5a,
    又因为AE=CD,AC+CE=5a,即4a+CE=5a,所以CE=a,
    则
    故选C


  点评:正如我国著名的数学家华罗庚所言——“数形结合百般好,隔离分家万事非”,将图形的数量关系,辅之以数,则更加具体直观,从而快速得到问题的答案.
回复

使用道具 举报

您需要登录后才可以回帖 登录 | 免费注册

本版积分规则

绿色圃中小学教育网 最新主题

GMT+8, 2024-3-29 23:17

绿色免费PPT课件试卷教案作文资源 中小学教育网 X3.2

© 2013-2016 小学语文数学教学网

快速回复 返回顶部 返回列表