数学学习评价方法简介

咫尺天涯

人民教育出版社 课程教材研究所

小学数学课程教材研究开发中心

为配合《义务教育课程标准实验教科书·数学》教材的实验工作，克服以往数学学习评价中存在的问题，实现基础教育课程改革的评价理念［见《试教通讯》小学数学专辑(二)］，研究具体的数学学习评价方法是非常重要的。在此，我们介绍一些数学学习具体的评价方法供大家参考。
“权，然后知轻重，度，然后知长短。”(孟子语)要使评价更客观、更真实，首先应对要评价的事物进行权衡、度量，也就是测量。那么，怎样对数学学习进行测量呢?
一、对学生数学学习的测量
(一)测量的种类
众所周知，测量就是对事物的一种数量上的描述。一般来讲，可以根据测量的精确程度，把测量分为由低到高的四种水平，即称名测量、顺序测量、区间测量和比率测量。
称名测量：又称分类测量，是一种最低水平的测量，只是用数字来代表事物或把事物归类。例如，学生的学号。各个类别所指派的数目纯属随意的，目的是加以区别，这种测量一般只用于定性的描述。
顺序测量：是按照类别的大小或某种属性的重要性，把一些项目排出等第次序。例如，某次考试全班学生的考试成绩分为优、良、中、及格、差几个等级，可以将其分别赋予数字5、4、3、2、1。这种测量中所指派的数目是有意义的秩次。
区间测量：这种测量所得的数目单位间的距离是等同的，但这种测量没有绝对的零点。例如，在一个用正确答案数目记分的数学测验中，我们不能说得50分的学生的学业成绩就是得25分学生的2倍。在这样的测验中，0分也并不意味着该生的数学能力为零。
比率测量：这是测量中的最高水平，它具有等距、等质的性质，且具有绝对零点。这种测量可知事物间相差多少，它们之间的比例如何，如果一项测量结果是0，这表明该事物不具有被测量的属性或特征。由于它具有绝对零点，且是等距(即单位相等)的，所以测量结果可以进行加减乘除的四则运算。对长度、时间、压力等的测量，都已达到比率测量的水平。
但是，对于数学学习的测量却很难达到比率测量的水平。因为数学能力的绝对零点难以确定，所以对数学学习评价的许多测量，至多能够达到区间测量的水平，这一点在进行数学学习评价时一定要记住。
(二)测量的方法
由于数学学习较难客观量化，因此还没有找到类似测量长度的尺子、测量重量的天平这样的能够达到比率测量精度的测量工具，目前广泛使用的、行之有效的方法是编制各种各样的测验或问卷来测量数学学习。在编制测验与问卷的过程中，我们经常使用的题型主要有如下几类。
1?客观测验题。
所谓“客观测验题”，是指试题可以客观地记分，不同评分者独立评分的结果是相同的测验题目类型。这种题目大多集中在考察学生的知识方面。它包括“是非题”“多项选择题”“计算题”“配合题”和“简答题”几种。
(1)是非题是一种让学生来判断其正误的陈述句，它也可以被看作是一种只有两个选项的选择题。它适用于以下范围：
① 对某事的判断只能有“是非”“正误”或“真伪”两个方面。
例1：“六一”儿童节快到了，小刚与小强想要送给班上16名同学每人一朵小红花，小刚画了9朵，小强画了8朵，问他们准备的够不够?
②对态度、兴趣等方面的测验。
例2：问“你是否喜欢这种计算方法?”
这类问题编制简单，而且特别适合于思维能力较低的低年级学生。
(2)多项选择题是由一个“题干”和几个“选项”组成，题干可以由直接问句或不完全的叙述句构成，它的作用是呈现一个问题情境，选项包括一个正确的答案和几个似真的错误答案。要求学生从这几个可能的答案中找出正确的答案，其中错误的答案称为“诱答”(其功能是迷惑那些对所需知识掌握得不够好的学生)。
例3：(直接问句的形式)下面所列举的图形中哪一个含有的三角形个数最多?

例4：(不完全叙述句的形式)数一数，上面图形(见图1)中所含三角形个数最多的是：____________。
以上两个例子的题干，所表达的是一个意思，对于年级较低的学生，可以先用“直接问句形式”，以后再改用“不完全叙述句形式”，使题目更加简明。
(3)配合题是由一列问题和一列答案所组成，可以看作是多项选择题的一种变式。问题就相当于多项选择题的题干，答案就相当于多项选择题的选项。
(4)简答题需要由学生主动提供答案，它的难度高于多项选择题、是非题和配合题，常用来测量学生掌握数学技能以及解决数学问题能力的水平。
例5：

例6：

三组①②③④⑤，
横竖交叉排如图。
请你看图仔细数，
共有数码多少个?
2?操作测验。
所谓操作测验就是模拟一些自然情景下的实际操作情况所进行的测验。它主要侧重于考察学生的技能方面。操作测验中通常着重于“过程”和“成果”两个因素，其偏重情况根据具体的操作测验的性质而定。
有些操作活动是要根据学生在过程中的表现来进行评价的，它不需要产生物质性的“成果”。如使用计数器操作的活动，就要特别强调其“过程”，注意组成活动的各部分动作和顺序的正确。而有些操作活动特别重视“成果”，而不太重视“过程”。例如，学生解决数学问题的活动，因为学生的思维过程是教师无法直接观察到的，教师很难对其过程进行评价，因此只能以“成果”作为评价的依据。当然，如果操作活动能够既有“过程”，又有“成果”，那就更好了。例如，我们可以采用让学生将自己的思考过程“大声说出”的方法，来了解学生的解题过程。编制操作测验可以从如下几方面进行设计。
(1)纸笔的操作测验。

例7：如图所示，在圆圈里填上不同的数，使每条直线上三个数相加之和都等于12。
例8：把相同的字母改成相同的数字使得算式成立：
    A  A
  +    A
     ________
        9  6
(2)辨认测验，如教师可要求学生从一个复杂图形中辨认出某个简单图形。
例9：在图中的五个图形中，哪一个与众不同?

(3)模拟的操作测验，其最大特点是强调正确的程序，通常是要求在模拟的情境下，完成和真实操作相同的动作。
例10：模拟真实购物的情境(如物品、购物环境等)进行一次模拟购物活动的操作测验，来考察学生“认识人民币”的情况。
3?观察法。
在数学学习中，用试题进行测量是最重要的方法，其次是用操作测验的方法。但是，对于像学生的情感体验，以及课程标准中提出的“过程性目标”的测量，用这两种方法却是无法完全解决的。下面我们介绍一下有可能实现上述问题测量的一种方法，这就是观察法。在《试教通讯》小学数学专辑（二）中我们介绍过观察法的特点，以及为保证观察能够达到预期的目的，采用观察法事先必须进行观察设计。它主要包括：确定观察的内容，要求能准确地反映、体现或说明观察目的，且能被观察到；选择观察的策略；制定简单易行、可靠有效的观察记录表等内容。现在我们更详细地介绍一下怎样使用观察法。
(1)观察法的种类。
更仔细地研究观察法，可以将它分为自然观察、情景样本、时间样本、真象观察、实验观察等几种。
①自然观察就是进行日常观察，这种方法要求教师对学生的行为作客观而及时的记录。
例11：在正常的课堂教学过程中，记录学生举手回答问题的次数，以此作为评价学生是否积极参与数学学习过程的依据。
②情景样本。当测量的目标只与某些特殊的情景相联系时，一般采用情景样本的方法。这种方法是设计一些与测量目标有关的情景作为样本，然后详细观察学生在这些情景下的行为表现。
例12：为了观察学生的“合作性”，可以安排一些集体开展的数学活动，在这些活动中，注意观察和记录学生的有关表现。
③时间样本。如果在整个活动过程中，对其中某一段特定的时间进行观察，就称为时间样本法。
例13：要评价全班学生的“自主性”，则可以在自习时间或其他比较有个人表现的活动中，对每个学生做5分钟左右的观察。在每个5分钟内，集中观察一两个学生。若在一次活动中对所有的学生不能全部观察完，可以在另一次相似的情景下继续观察，直至最后一个学生。
④真象观察。对于某些重要的行为表现，必须从事件发生、发展和终结的全过程加以观察，以取得其实质性的东西，这就是真象观察。特别地，如果教师根据对学生日常生活行为表现所做的观察，将其中有意义的偶发事件记录下来，这种观察还被称为轶事记录法。
⑤实验观察。这种方法是指在严格控制的条件下，观察学生的行为反应。在教学改革的实验中，往往要用这种方法。
例14：“找规律”这部分内容是实验教材增加的新内容之一，需要对这部分内容的教材编写、教学方法等进行研究，此时就可以通过教学实验观察来研究学生对这部分内容的学习情况。
(2)对观察结果的记录与量化方法。
观察记录的内容应包括被记录学生所在的班级、姓名，观察发生的日期、地点，观察者的姓名，对现象、事件的客观描述以及对该现象、事件的解释。
对观察结果的量化，常常使用评定量表的方法。所谓评定量表是一种系统进行观察、进行判定的工具。它通过对学生一组属性进行的观察，指出学生具备各个属性的不同程度。常有如下的几种评定法。
①顺序评定法。评定者将被评的学生(或作业)按照各自在每一特质上的优劣排成顺序，通常是从两个极端(最好和最坏)开始，逐步向中间排列。当被评对象比较多时，运用该方法就比较麻烦。
②数字评定法。这种评定是评定者根据学生在每一项特质上表现的程度，给予一定的分数。通常要说明各个数字所代表的意义。例如，5──优，4──良，3──中，2──及格，1──不及格。
③对偶比较法。这种方法是将所有对象两两进行比较，最后确定其优劣顺序。它得到的结果比前面两个方法更为精细，但过程比较复杂。
④图表评定法。该方法的特点是在每一项所需评定的特质下面，有一条水平线，这条线被分成若干段，以表示不同程度的类别。它的评定方法是在该水平线上的不同位置作个记号，以表示评定者的看法。
例15：请在下面横线的适当位置作“?”记号，以表示刘红参与讨论的程度。
从未    很少    有时    经常    总是
    _______________________________________
⑤描述式图表评定法。由于使用图表评定法时，各人对“很少、有时、经常”等词很难有一致的看法。因此，人们逐步改成对各点的意义用简短的语句作出说明，这就成为描述式图表评定法。这种方法有的只对最中间和最两端的点加以说明，有的则在每一点下面均加以说明。并且，在每一题下面，均留出适当的空间作为填写注释用。
二、对数学学习的评价
有了对数学学习的测量之后，就可以在此基础上对学生的数学学习作出评价了。当然，由于评价主体不同，评价结论也会有所不同。《试教通讯》小学数学专辑（二）中我们说过，数学学习的评价主体主要是学生与教师两方面。下面我们再详细说一说，怎样依据上述测量结果进行评价。
(一)学生的评价
1?学生之间的相互评价。
由于学生的认识能力有限，思想水平高低不齐，因此，学生之间的评价要在教师的指导下，由学生进行相互评议，才能使评价规范，有利于增进学生之间的相互学习。为此，教师可事先编制简单的问卷，然后让学生回答问卷的问题。问卷问题主要是让学生做以下事情。
（1）推选在小组活动中表现较好的同学。
例16：要评价学生的合作精神，可制作问题为：
①请你选出本组同学中最有合作精神的是( )( )( )。根据全组学生的回答进行统计，若某同学被提名一次，就记+1分；
②请你选出本班同学中最不能团结别人的是( )( )( )。根据学生的回答进行统计，若某同学被提名一次，就记-1分；
最后，统计每位同学的得分，分数最高者表示最有合作精神。
（2）测定小组活动中同学的或行为倾向的等第次序。
例17：要考察学生的学习体验，可设计问题如下：
“请你写出本题你最喜欢的三种做法，并按喜欢程度排序：第一为( )、第二为( )、第三为( )。”
根据全组测定的结果，可以得出学生喜欢“第几种做法”的程度。以此可了解学生的发展水平。
下面有关的内容，如设计一次小小经济活动(购物游戏、储蓄活动)，让学生通过学具来模拟购物、储蓄活动，从而“认识人民币”；几个学生一组，让其中一个学生操作“表的模具”，别的学生辨认识别，或者以一份电视报的节目时间表(一部分)为内容，让学生彼此操作表的钟面，来熟悉对“时间的认识”；让几个学生一组，一个学生使用“上、下；前、后；左、右”来造句，其他几人判断正误来学习“位置”；等等，都可以使用学生之间的相互评价来考察学生数学学习的质量。
2?学生的自我评价。
在学生进行自我评价时，教师要提示学生从学习内容、解决问题、学习态度几方面来总结。
例18：通过一年级上与一年级下两学期对“数概念”的认识，学生可以总结出一份自我评价的对“数概念”的认识。
具体做法可以是：让学生收集所有关于“数概念”认识的作业，并利用自己所收集上来的作业情况，进行“统计”分析：计算自己保留了多少个作业本、每本作业中完成了多少次作业、每次作业中有多少优秀、多少不足等，还可以对自己统计的做对的题目与做错的题目数进行大小的比较，从而肯定成绩，增强自信，并进一步检查作业中错误产生的原因，反省学习历程中的有关挫折。这样就可以全面考察自己的学习情况，以自己曾经的成功和失败经验为主来评价自己的学习表现，并进一步根据目前的学习情况，确定自己未来的学习目标。
(二)教师的评价
1?终结性评价。
终结性评价是结果评价，目的是给学生评定数学成绩，为学生的数学能力发展水平提供证据。终结性评价是指学习进行了一个阶段之后，对学生的数学学习效果作出全面的总结性的评价。
为此，我们可以采用测验法。在学期末，对一年级下册学完之后，结合“总复习”，教师可以编制一份测验试卷。从知识技能方面，依据对“100以内的数，100以内的加法和减法，元、角、分，几时几分，位置与图形，统计”的教学目标，来考察学生的学习质量。
例19：在此给出一份试卷作为样例(见附录)。
在课上让学生进行限时40分钟的解答，将每个学生的正确与错误检查出来。
（1）如果用同一评价标准对学生的数学学习作出相应的评价，如直接给出测验成绩(百分制分数)，此为绝对评价。
（2）如果将学生的原始分数作为对学生数学学习质量考察的资料，给出学生的一个等级分数或标准分，此为相对评价。
等级分数是一种简单的做法，它是将学生的原始分数从低到高进行排列给出的一个等级数。
所谓标准分，是由原始分数换算而来的、可用以比较的量数。标准分有许多不同的换算方式，但它们都与原始分数、平均数、标准差有关。
为此，我们先要计算本次测验的平均分数，其中最常用的平均数是算术平均数，计算公式为 。这里，表示算术平均数；xi表示每个学生的检测分数；n表示参加测验的学生人数。标准差的计算公式如下：

或   
其中：S表示标准差，xi表示每一学生的测验分数，n表示学生人数，表示学生测验分数的算术平均数。
然后，求标准分(又称Z分数)。具体求法是：。其中：S表示标准差，xi表示某学生的原始分数，表示学生测验分数的算术平均数。
无论是等级分数，还是标准分，都是相对评价，它们给出的是学生在一个班级内所处相对位置的评价。
2?形成性评价。
形成性评价是过程评价，课程标准中对过程性目标的要求，使用了“经历(感受)、体验(体会)、探索”三个层次来刻画学习水平。我们在数学学习过程中对此的评价应至少包括四个方面：评价学习情境、评价学生对学习情境的回答，以及对回答的分析和对结果的解释。
例20：老师要用12元班费为班里选买如图6（图略）所示的3种学习用品，请你们想一想，可以有多少种不同买法?
(笔记本的图)   (铅笔盒的图)    (橡皮的图)
  单价3元       单价5元        单价2元
图6
(共有5种买法：12=2+2+2+2+2+2=5+5+2=3+3+3+3=3+3+2+2+2=5+3+2+2。)
例21：一只口袋里有许多卡片，每一张卡片上都写了一个数，有些写的是6，有些写的是7，其余都写的是8，你从口袋中摸出两张卡片，将这两张卡片上的数字相加，结果是多少?
(方法一：摸出的数字相同，有6+6=12，7+7=14，8+8=16；摸出的数字不同，有6+7=13，7+8=15，6+8=14。方法二：摸出的数字有6，有6+6=12，6+7=13，6+8=14；摸出的数字没有6，有7+7=14，7+8=15，8+8=16)。
可以通过学生在类似上述问题解决过程中的表现，来评价学生的学习质量。具体来讲，可以用下面的形成性评价记录表来记录学生的表现，以此作为评价的依据。
表1  对学生数学学习进行形成性评价的记录表

例22：下列图表中每四个数为一组，它们的和为34。
   

14	7	2	11
1	12	13	8
15	6	3	10
4	9	16	5

像这样的四个数小组有许多，如：

14

1

15

4

2	11
13	8

都是。把你在1分钟里，能找出的这样的四个数小组的个数作为你的“吉尼斯记录”。试一试，你的“吉尼斯记录”是多少!
例23：求图中三角形三个顶点上数的和。

像这样的问题，都可以作为考察学生是否解决了学习课题，理解了相应内容，存在的问题是什么，思考问题的方法是否合适等内容来评价学生。
总之，形成性评价注重对问题情境中学生的反映、学生对情境中数学问题的分析、对问题解决的思路以及对结果的解释等情况的评价。