新课标下的数学教学需要“合情推理与数学活动”

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江苏省扬州市邗江区瓜洲中心中学 钱世荣

关键词：数学的发展；思维方式的培养；兴趣、个性的发展；学习方式的转变 　　数学家波利亚（G.Polya）指出的：数学有两个侧面，一方面它是欧几里得式的严谨科学，从这方面看，数学象是一门系统的演绎科学，但另一方面，创造过程中的数学，看起来象是一门试验性的归纳科学。这也呼应了柯朗（R.Courant）所说的——逻辑和直觉、分析和构造、一般性和个别性．数学是人类文化的重要组成部分，数学素养是现代社会每一个公民所必备的基本素养。数学课程标准（实验稿）提出：“人人获得数学教育；人人认识数学的价值；不同的人在数学上得到不同的发展”。 　　一、合情推理与数学活动教学与数学发展的需要 　　新的数学课程标准认为：学生应"经历观察、实验、猜想、证明等数学活动，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力"。由此可见猜测是发展数学，学好数学的重要方式之一。通过对课程标准的进一步解读，我们了解到合情推理就是一种合乎情理的推理，主要包括观察、比较、不完全归纳、类比、猜想、估算、联想、自觉、顿悟、灵感等思维形式。合情推理所得的结果具有偶然性，但也不是完全凭空想象，它是根据一定的知识和方法做出的探索性的判断，因此合情推理被广泛的应用于科学、生产和社会研究之中，例如律师的案情推理，历史学家的史料推理，经济学家的统计推理，物理学家的实验归纳推理等等。它没有固定的逻辑标准，是笼统、通人情的，它是与个人的情绪、爱好、基础等主观因素有关的一种推理。但是它却是取得创造性成就的工具，是创造性工作所赖以进行的推理。因而在平时的课堂教学中如何教会学生合情推理，是一个值得研究的课题。 　　二、基础规律性的探索和合情推理与思维方式的培养 　　数学为人们提提供某些普遍适用并且强有力的思考方式，如直观判断、化归类比、统计推断、合情推理等等。当面临错综复杂的实际问题时，应能自觉运用数学的思维方式去观察和思考问题，并努力寻求用数学解决问题的办法。新教材中有许多规律性的推断题，此类题型目的是培养学生的数学的思维方式，培养学生观察数学的眼光，也是培养学生运用数学知识的途径之一。例如： 　　1、一条直线将平面分成2个部分，两条直线最多将平面分成4个部分，三条直线最多将平面分成7个部分， N条直线最多将平面分成------部分.(转化为:2=1+1；4=1+1+2；7=1+1+2+3；那么最多分成的平面数是：1+1+2+3+……+n) 　　2、[06安徽]如图，小亮从A点出发，沿直线前进10米后向左转30°，再沿直线前进10米，又向左转30°，……，照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了120米. (此题是大胆推理形成的封闭图形是正多边形,外角是300 ,得出此图形为12边形.) 　　 　　3、[07杭州16题]如图，是一块半径为1的半圆形纸板，在的左下端剪去一个半径为的半圆后得到图形，然后依次剪去一个更小的半圆 （其直径为前一个被剪掉半圆的半径）得图形，记纸板的面积为，试计算求出；；并猜想得到。 　　　 　　　　　　　P1         　　      P2             　　　 P3            　　    P4 　　（解答：，此题旨在让学生由特殊到一般的合情推理的思维过程） 　　以上的例题都体现了数学中的探索、推理、归纳的思想，锻炼学生的思维的强度，擦出思维的火花，点燃了学生的学习激情。教育学家乌申斯基说：“没有丝毫兴趣的强制学习，将会扼杀学生探求真理的欲望”。兴趣是学习的重要动力，兴趣也是创新的重要动力。创新的过程需要兴趣来维持。在教学中出示恰如其分的出示问题，让学生“跳一跳，就摘到桃子”，问题高低适度，问题是学生想知道的，这样问题会吸引学生，可以激发学生的认知矛盾，引起认知冲突，引发强烈的兴趣和求知欲，学生因兴趣而学，而思维，并提出新质疑，自觉的去解决，去创新。 　　三、数学操作活动的合情推理和兴趣、个性的发展 　　以学生的发展为本，在实践和探索中丰富和改善教与学的方式，帮助学生更好地体验数学发现和创造的历程，发展创新意识和实践能力。操作活动是新教材中的一个特色，也是新教材的编写意图的亮点，数学实验室为学生提供了探究的素材和课题。数学新课标指出：“数学课程的内容要贴近学生的实际，以利于学生体验、思考和探索。有效的数学学习活动不能单纯依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。”操作活动为学生自主探究提供一个很好的平台，探究的过程为学生的思维活动提供了航标，合情推理的方法为学生的探索提供努力的方向。例如：在《勾股定理》证明教学中，我就充分利用教材中数学实验，发挥学生主动性，通过探索“割、补”法求面积来证明勾股定理。观察教材中图形,如果每一小方格表示1c㎡,那么可以得到：（1）正方形P的面积=_____正方形Q的面积=_____正方形R的面积=_____我们发现,正方形P、Q、R面积之间的关系是—————————由此，我们得到三角形ABC的三边的长度之间存在————————关系 　　（2）P、Q、R变为等边三角形时，三角形ABC的三边的长度之间存在————————关系 　　（3）P、Q、R正六边形时，三角形ABC的三边的长度之间存在————————关系 　　（4）P、Q、R以边长为直径的半圆时, 三角形ABC的三边的长度之间存在————————关系 　　同学们你能大胆地猜测P、Q、R为 ----- 形,以上结论仍然成立。同学经过讨论得出是任意正多边形，后来还是细心的同学用实际操作提出自己的观点是： 高和边相等的任意三角形，不必正三角形。。。。。。后来到相似形的教学时我又提到此题，同学们又告诉我新的答案是P、Q、R是相似形。看见同学们得出正确解答后兴奋表情、看见因争论急红了的脸。。。。。。实际我们更应看见每位学生都有强烈的好胜心理，教师应当充分地鼓励学生发现问题，提出问题，讨论问题、解决问题，通过质疑、解疑，让学生具备创新思维、创新个性、创新能力。孔子云：不愤不启，不悱不发。针对不同的群体开展几何图形设计大赛、数学笑话晚会、逻辑推理故事演说等等，展开想象的翅膀，发挥它们不同的特长，在活动中充分展示自我，找到生活与数学的结合点，感受自己胜利的心理，体会数学给他们带来的成功机会和快乐，培养创新的兴趣。 　　四、代数几何综合题的探究猜想与学习方式的转变： 　　数学课程涉及的领域应该是广泛的，这些领域是现有可供学生思考、探究和具体操作的题材。也隐含着现代数学的一些原始生长点，要让毎一个学生都有机会接触了解。钻研自己感兴趣数学问题，最大限度地满足每个学生的数学需要，最大限度地发展每个学生的智慧潜能。而且，从面向每一个学生出发，也能为有特殊才能和爱好的学生提供更多的发展机会，让每个学生从中获益。这类题的设计和编排都充分体现了“数学是思维的体操，问题是思维钥匙”。因此教师在备课时，不仅把主要的精力放在设计和安排学生数学活动上，而且对教学内容中的数学实质、思想方法的研究与思考过程要充分揭示，在教学活动中教师要充分考虑到学生的思维接受程度，精心设计综合题中每一个小问题，分清题目的坡度，真正做到“人人学有价值的数学；人人都能获得必需的数学；不同的人在数学上得到不同的发展”。例如：正方形的性质的综合运用中，为了使每一位学生参与思考，参与合作学习，我编选此题： 　　如图已知△ABC中，AB＝BC＝1，∠ABC＝90°，把一块含30°角的直角三角板DEF的直角顶点D放在AC的中点上(直角三角板的短直角边为DE，长直角边为DF)，将直角三角板DEF绕D点按逆时针方向旋转。 (1)在图1中，DE交AB于M，DF交BC于N。 　　①证明DM＝DN； 　　②在这一旋转过程中，直角三角板DEF与△ABC的重叠部分为四边形DMBN，请说明四边形DMBN的面积是否发生变化？若发生变化，请说明是如何变化的？若不发生变化，求出其面积； 　　(2)继续旋转至如图2的位置，延长AB交DE于M，延长BC交DF于N，DM＝DN是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； 　　(3)继续旋转至如图3的位置，延长FD交BC于N，延长ED交AB于M，DM＝DN是否仍然成立？请写出结论，不用证明。 　　 　　此题的呈现形式是动态的、变化的，题目的设计层次分明，梯度合理。在教学中我首先帮助学生寻找题中特殊点，然后让学生动手去操作，由上述方法给学生有大胆猜想、大胆推测的空间，激发学生去自主思考、互相协作、共同探究、自我提高，最后由此探究出此题的教材中知识雏形（正方形的性质）。这节课学生学得轻松快乐，而且记得牢。罗杰斯提出：“有利于创造活动的一般条件是心理的安全和心理的自由”。教师应以训练学生创新能力为目的。保留学生自己的空间，尊重学生的爱好、个性和人格，以平等、宽容、友善的态度对待学生，使学生在教育教学过程中能够与教师一起参与教和学中，做学习的主人，形成一种宽松和谐的教育环境。只有在这种氛围中，学生才能充分发挥自己的聪明才智和创造想象的能力；其次，班集体能集思广益，有利于学生之间的多向交流，在班集体中，取长补短。课堂教学中有意识地搞好合作教学，使教师、学生的角色处于随时互换的动态变化中，设计集体讨论、查缺互补、分组操作等内容，锻炼学生的合作能力。 　　合情推理是创新思维的火花，操作探究是创新的基本技能，我们在教学中要充分挖掘新教材教学资源，用火花去点燃学生的学习激情，用技能去武装学生的手脑。使新课程的教学过程成为师生交流、共同发展提高的互动过程；使数学的课堂教学真正达到：导入环节“未成曲调先有情”；讲述环节“一枝一叶总关情”，细节设计“嫁与春风不用媒”；情景创设“山雨欲来风满楼”；教学机智 “随风潜入夜，润物细无声”的艺术境界；使课堂教学真正成为师生富有个性化的创造过程。