古代的数学迷宫——图形数

塔孜石破天惊

古希腊人曾把数看作是位置不定的点的集合。甚至毕达哥拉斯还说过“数是万物之源”的那样毫无道理的话。这样，就不得不说，认为宇宙是由点构成的所谓原子论，也可以归结到来源于“点=数的集合”的古希腊思想。 　　若把数当作是点的集合，那么，以多少个点表示数的问题，最终将变成可以看得见的图形数是怎样表示出来的问题。例如，数3可以用3个点来表示，也可用等分成三个单位长度来表示。如图1－1。

　　然而古希腊人更关心的是什么数能够排列成正三角形、正方形等等美丽的图形。毕达哥拉斯曾用小石头，如图1－2那样，从上往下1个、2个、3个、4个地依次摆成正三角形，他指着小石头叫别人数。当那个人数完1、2、3、4时，毕达哥拉斯却说：“好啦，你说到的4，我看实际是10。”毕达哥拉斯把10看成是一个神圣不可侵犯的数。他认为1表示点，2表示线，3表示面（三角形），4表示体（三角锥），总括起来这个美丽的正三角形数10，就可以表现宇宙。

　　像10这样可以排列出美丽的正三角形的数是很多的，这些数都可以叫做三角数（如图1－3）。设以Tn来表示第n个三角数，则Tn就等于1、2、3…n个自然数的和，把它列成数学式就是：

　　Tn=1＋2＋3＋…＋n

　　能排列出正方形的数叫做四角数（如图1－4），四角数构成了平方数。若以Sn表示第n个四角数，则数学式就是：

　　Sn=n2

　　但是我们从图1-5可以看出，四角数是由1开始只把奇数加起来构成的。用数学式表示就是：

　　Sn=1＋3＋5＋…＋（2n-1）=n2

　　与四角数相对应，若从2开始，只把偶数加起来就变成所谓的长方数（如图1－6），长方数也叫矩形数。以Rn表示第n个长方数，它的数学式就是：

　　Rn=2＋4＋…＋2n=n（n＋1）

　　在作四角数和长方数时，可以用和角尺一样的图形。这种角尺状图形，数学上叫磬折形，其中表示的数叫磬折形数。两个相邻磬折形数之差，实际上是数列的级差。
　　在三角数Tn、四角数Sn、长方数Rn之间存在着各种各样的关系。如图1－7所示，两个三角数的和就等于一个长方数。

　　2Tn=n（n＋1）

　　从而，下式是可以成立的。

　　

　　假如我们仔细地观察一下下面的两个数列，不难发现，相邻的两个三角数之和是等于一个四角数的。

　　

　　这种关系，如图1－8，用数学式表示，则可为：

　　Tn-1＋Tn=Sn=n2

　　让我们再看看图1－9，图中用○符号表示的数是S5；用●表示的数是S6，由图可以看出

　　4T5＋1=S5＋S6

　　从而，一般可以认为下式是成立的。

　　4Tn＋1=Sn＋Sn＋1

　　如果把含有符号×的全体考虑进去的话，则很清楚地看出下式也是成立的。

　　8Tn＋1=S2n＋1

　　希腊人还研究过如图1－10所示的五角数及图1－11所示的六角数。他们把五角数排列成
　　1、5、12、22、35…

　　把六角数排列成

　　1、6、15、28、45…

　　设Pn表示第n个五角数；Hn表示第n个六角数。我们只要稍微观察一下这两个图，就不难看出，以下的数学公式成立。

　　Pn=Sn＋Tn-1，Hn=2Sn-n

　　假如你观察不出来，你可以把五角数中的○那部分看成是Sn，把●那部分看成是Tn-1，两者相加不就是Pn了吗；另外，可以把六角数中的●部分数两遍，于是就可以把全体看成两个四角数，然后再减去多数一遍的●部分不就成了Hn了吗。
　　下面让我们看看求三角数T1、T2…Tn之和的情况吧。为了醒目起见，我们把T1、T2、T3…Tn先各乘上3，然后把3T1、3T2、3T3…3Tn排列成如图1－12所示的样子，使之成为左右横向是Tn行；上下纵向是n＋2列的长方形。于是由

　　3（T1+T2+…+Tn）=（n+2）Tn

　　可以得到下边比较易看的关系式：

　　然后，我们还可以看看求四角数S1、S2…Sn之和的情况。因为每个四角数，都是由1起，依次只把奇数加起来的和表示的，所以S1、S2…Sn的和就可以排列出如图1－13所示的摩天楼样形状。图中○表示奇数编号的四角数S1、S3、S5…●表示偶数编号的四角数S2、S4…

　　若在摩天楼的两侧各加上S1、S2…Sn的话，那么，从上到下的Tn行与从左到右的2n＋1列所形成的长方形就可以表示3S1、3S2…3Sn之和。因而

　　3（S1＋S2＋…＋Sn）=（2n＋1）Tn

　　故可将上式变成

　　也就是可以得到下述的公式：

　　13世纪中国数学家杨辉用堆积小立方体的方法证明了上述公式。他把12个、22个、32个…n2个小立方体堆积成A、B、C三个阶梯状的四角锥形。把这三个四角锥粘结在一块，如图1－15所示，在C上就会凸出来Tn个小立方体，如把这些凸出的小立方体切去一半放在A上，就可以形成一个底面

　　
　　是由作图得出的结果，所以也得到以下公式：

　　现在看看关于13、23…n3的求和公式。让我们首先参看图1－16左上角的那个最小的中间有点的小正方形，我们把它看成是1的正方形，设它各边长为一单位，然后把它相邻的两边各延长2单位，再作一个每边长为1＋2=3的正方形。这样在原来1的正方形右边添加的磬折形数就是2个22的正方形，也就是22×2=23。为什么可以这样说呢？我们只要注意到图中打有双重斜线的地方，正好和空白的地方相抵消，于是就可以说添加的就是两个边长各是2的正方形，其中一个打右斜线，另一个打左斜线。
　　然后在相邻的两个边上再延长3个单位长，作一个每边长为1＋2＋3=6的正方形。于是，添加的磬折形数就是33（3个32）。进一步，相邻两边再延长4个单位长，又出现了空白抵消掉双斜线部分，添加了4个42，磬折形数成为43。这样作出的正方形，因为每边都是1＋2＋3＋4单位长度，所以就成为：

　　13＋23＋33＋43=（1＋2＋3＋4）2

　　其一般通式，可以证明为：
　　13＋23＋…＋n3=（1＋2＋3＋…＋n）2

　　希腊人不仅仅研究了把点排列在平面上的多角数，而且还研究了把点排列在空间的锥形数。如果把点排列成三角锥的形状，它的样子就如图1－17所示。

　　其第n个三角锥数是

　　再看看排列成四角锥形状的图形，就可以得出其第n个四角锥数应是：

　

　　古希腊人不但由一个顶点引出射线，并在射线上取点作出多角数及锥形状，而且还由图形的中心点引出射线，依靠射线作出了有心多角形。其有心三角形，如图1－19所示是：

　　1、4、10、19、31、46…
　　图中三条实线，每两条线间都有三个点，连同线上的点，排列成一个三角数。其中中心点是三个三角数共有的，实线上的点是相邻两个三角数共有的。因此第n个有心三角数的通式应为：

　　有心四角数如图1－20所示为：

　　1、5、13、25、41…

　　同理，第n个有心四角数，可以用下式表示：

　　4Tn-1＋1=2n（n-1）＋1

　　前边的图1－9也是一个有心四角数。你不妨翻开前边看看，它对你理解有心四角数是会有帮助的。
　　此外，还可以按上述方法，进一步研究有心五角数及有心六角数等等。那么，第n个有心五角数应该是由5Tn-1＋1给出，而第n个有心六角数则是由6Tn-1＋1给出。
　　如果在第n个有心六角数外边，再附加上6个第n-1号的三角数，那就可以作出一个星形六角数（如图1－22所示），其第n个星形六角数，可以由12Tn-1＋1给出。

　　我们从卡道纳所编的《数学游戏Ⅲ》中得知：可以构成平方数的星形六角数有一些性质是很有意思的。例如，若令第n个星形六角数6n（n-1）＋1等于一个平方数m2，即：

　　m2=6n（n-1）＋1

　　然后将上式的左边乘3再加2，其值就可以表示成三个连续自然数的平方和，同时还可以表示成两个连续自然数的平方和，用数学式表示就是：

　　3m2＋2=（m-1）2＋m2＋（m＋1）2

　　=（3n-2）2＋（3n-1）2
　　不过不是所有的星形六角数，都可以有上述的可构成平方数的关系，其中比1大的最小值是121。此时，n=5、m=11，代入上式计算为：

　　365=102＋112＋122=132＋142

　　其次，能构成平方数的星形六角数是11881。此时，n=45、m=109，代入上式为：

　　35645=1082＋1092＋1102=1332＋1342